Inégalité de Young

Soit $a$ et $b$ deux réels positifs, et $p,q>1$ vérifiant : $\frac 1p+\frac 1q=1$. Alors on a $$ab\leq \frac{a^p}p+\frac{b^q}q.$$ L'égalité a lieu si et seulement si $a^p=b^q.$

Cette inégalité provient facilement du fait que la fonction logarithme est concave. En effet, cette dernière propriété, et les propriétés fonctionnelles du logarithme, entrainent que $$\ln(ab)=\frac 1p\ln(a^p)+\frac 1q\ln(b^q)\leq \ln\left(\frac{a^p}p+\frac{b^q}q\right).$$ Il suffit ensuite d'appliquer la fonction exponentielle à l'inégalité précédente pour obtenir le résultat voulu.

Une des conséquences classique de l'inégalité de Young est l'inégalité de Hölder.