$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Système fondamental de solutions d'une équation différentielle

  Soit $Y'(t)=A(t)Y(t)$ un système linéaire d'équations différentielles (c'est-à-dire que $Y$ désigne un vecteur de $\mathbb R^n$, et $A(t)$ est une matrice carrée de taille $n$, définie sur un intervalle $I$). On sait que l'ensemble des solutions de cette équation différentielle est un espace vectoriel de dimension $n$.

Définition : $(Y_{1},…,Y_{n})$ est un système fondamental de solutions si $(Y_{1},…,Y_{n})$ forme une base de l'espace vectoriel des solutions.
On fixe une base $B$ de $\mathbb R^{n}$, dans laquelle seront notamment calculées tous les déterminants.

Définition : Si $(Y_{1},…,Y_{n})$ est une famille de solutions de l'équation différentielle, on appelle wronskien de ces solutions l'application $W$ définie sur $I$ par :

$$W(t)=det_{B}(Y_{1}(t),…,Y_{n}(t)).$$
Le wronskien permet de déterminer si un ensemble de solutions est un système fondamental :
Théorème : Les assertions suivantes sont équivalentes :
  1. $(Y_{1},…,Y_{n})$ est un système fondamental de solutions.
  2. Il existe un $t$ de $I$ avec $W(t)$ non nul.
  3. Pour tout $t$ de $I$, $W(t)$ est non nul.
  Si $y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+...+a_{0}y=0$ est une équation différentielle linéaire scalaire d'ordre $n$, l'ensemble des solutions est aussi un espace vectoriel de dimension $n$; on définit de la même façon le fait d'être un système fondamental de solutions. Si $y(t)$ est une solution, on associe le vecteur $Y(t)$ définie par $Y(t)=(y(t),y'(t),...,y^{(n-1)}(t))$. Le wronskien d'une famille $y_{1},…,y_{n}$ de $n$ solutions est le déterminant de la famille $Y_{1},…,Y_{n}$. Le théorème reste vrai dans ce contexte.
Consulter aussi...