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Théorèmes taubériens de Wiener

Les théorèmes taubériens de Wiener sont des théorèmes donnant une condition nécessaire et suffisante pour que les combinaisons linéaires des translatées d'une fonction soient denses dans $L^1(\mathbb R)$ ou dans $L^2(\mathbb R)$.

Théorème taubérien sur $L^1$ : Soit $f\in L^1(\mathbb R)$. Alors l'espace vectoriel engendré par les translatées $f_a=f(\cdot+a)$ de $f$ est dense dans $L^1(\mathbb R)$ si et seulement si la transformée de Fourier de $f$ n'a pas de zéros dans $\mathbb R$.
Théorème taubérien sur $L^2$ : Soit $f\in L^2(\mathbb R)$. Alors l'espace vectoriel engendré par les translatées $f_a=f(\cdot+a)$ de $f$ est dense dans $L^2(\mathbb R)$ si et seulement si la transformée de Fourier-Plancherel de $f$ ne s'annule pas sur un ensemble de mesure de Lebesgue positive.

Observons dans les conditions énoncées dans ces deux théorèmes la différence entre ne jamais s'annuler dans le cas $L^1$ et s'annuler sur un ensemble de mesure nulle dans le cas $L^2$. Elle est tout à fait naturelle : la transformée de Fourier d'une fonction de $L^1$ est une fonction continue, et donc elle est bien définie partout. La transformée de Fourier-Plancherel d'une fonction de $L^2$ est une fonction de $L^2$ définie presque partout. On ne peut pas exiger une condition sur tous les réels, mais seulement sur presque tous les réels.

Il n'est pas non plus très clair pourquoi ce théorème porte le nom de théorème taubérien, c'est-à-dire d'un théorème qui doit comparer divers modes de convergence. C'est plus clair si on sait que le théorème taubérien sur $L^1$ est équivalent à l'énoncé suivant :

Théorème : Soit $f\in L^1(\mathbb R)$ dont la transformée de Fourier n'a pas de zéros réels. Soit $h\in L^\infty(\mathbb R)$ tel que le produit de convolution $f\star h$ tend vers zéro à l'infini. Alors, pour tout $g\in L^1(\mathbb R)$, le produit de convolution $g\star h$ tend vers 0 à l'infini.
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