$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorèmes de Weierstrass (analyse complexe)

  En analyse complexe, la terminologie "théorème de Weierstrass" désigne deux théorèmes concernant les fonctions holomorphes. Le premier se rapporte aux suites de fonctions holomorphes :
Théorème : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions holomorphes dans un ouvert $U$ qui converge uniformément sur les parties compactes de $U$ vers une fonction $f$. Alors $f$ est holomorphe, et pour tout $k$, la suite des dérivées $k$-ième $(f_n^{(k)})$ converge uniformément sur les compacts de $U$ vers $f^{(k)}$.

  Le second concerne les zéros des fonctions holomorphes. D'après le principe des zéros isolés, on sait que l'ensemble des zéros d'une fonction holomorphe dans $U$ est un ensemble fermé et discret dans $U$. Le théorème de reconstruction de Weierstrass permet de faire le chemin en sens inverse.
Théorème : Soit $U$ un ouvert de $\mathbb C$, et soit $S$ un ensemble fermé et discret de $U$. Pour tout $a$ de $S$, choisissons un entier $m_a>0$. Alors il existe une fonction $f$ holomorphe sur $U$ ayant un zéro de multiplicité $m_a$ en chaque point $a$ de $S$, et ne s'annulant pas en dehors de $S$.
Consulter aussi...