$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Vitesse de convergence

  Lorsqu'un mathématicien étudie une suite (un), son but est souvent de savoir si cette suite converge vers une limite l. Cela est très intéressant en soi, mais bien souvent cette limite est une constante importante en mathématiques et en physique (exemple : Pi!). Pratiquement, il est parfois important d'avoir une valeur approchée de cette constante. Les valeurs prises par la suite sont une bonne valeur approchée, mais à partir de quel rang pourra-t-on être satisfait de l'approximation donnée? On est donc amené à étudier le comportement de |un-l| : cette quantité désigne la vitesse de convergence de la suite.

  On a l'habitude de classer la vitesse de convergence suivant l'échelle suivante, que nous présentons de la convergence la moins rapide à la plus rapide :
  • la convergence lente : le reste |un-l| est de l'ordre de C/na, où a>0.
    C'est par exemple l'ordre de convergence de la série des 1/n2.
  • la convergence géométrique : le reste est de l'ordre de C.kn, avec 0<|k|<1.
    C'est par exemple la vitesse de convergence que nous donne le théorème du point fixe pour les applications contractantes.
  • la convergence factorielle : le reste est de l'ordre de C/[ (n!)a nb], avec a>0.
  • la convergence supergéométrique (ou hypergéométrique) : le reste est de l'ordre de Ck2n, avec 0<|k|<1.
    Ce mode de convergence est excessivement rapide. On l'obtient par exemple avec la méthode de Newton de recherche de la racine d'une équation.