Formules de Viète

La formule de Viète est une formule donnant $\pi$ comme un produit infini faisant intervenir des radicaux imbriqués. Précisément, cette formule est \[ \frac \pi2=\frac2{\sqrt 2}\times\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt 2}}\times \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt 2}}}\times\cdots. \] Cette formule a été obtenue par Viète en 1593 en comparant les aires des polygones réguliers à $2^n$ et $2^{n+1}$ côtés. Ainsi, le premier terme du produit, $\frac{2}{\sqrt 2}$ est le rapport des aires d'un octogone et d'un carré, le deuxième terme est le rapport des aires d'un hexadécagone (polygone à 16 côtés) et d'un octogone, etc... En prenant le produit infini, les termes se télescopent et on obtient le rapport entre l'aire du disque et celle du carré inscrit dans ce disque, soit $\pi/2$.

Bien sûr, ceci n'est pas une démonstration rigoureuse au sens moderne du terme, et il faudra attendre Ferdinand Rubio en 1891 pour obtenir la première démonstration rigoureuse de ceci.

La formule de Viète pour les polynômes donne la somme des racines (complexes) d'un polynôme en fonction des coefficients du polynôme. Précisément, si $P(X)=a_n x^n+a_{n-1}x^{n-1}+\dots+a_1x+a_0$ et si $r_1,\dots,r_n$ sont les racines (complexes) du polynôme, alors on a $$r_1+\cdots+r_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n}.$$ Cette formule est donc un cas particulier des relations coefficients/racines.