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Quadrilatère de Varignon

Le quadrilatère de Varignon est la figure obtenue en joignant les milieux d'un quadrilatère quelconque.

Théorème : Soit $ABCD$ un quadrilatère quelconque, $M$, $N$, $P$ et $Q$ les milieux respectifs de $[AB]$, $[BC]$, $[CD]$ et $[DA]$. Alors le quadrilatère $MNPQ$ est un parallélogramme.

On peut démontrer de plus que

  • si ABCD est convexe, son aire est le double de celle de MNPQ.
  • les diagonales de ABCD sont perpendiculaires si et seulement si MNPQ est un rectangle.
  • les diagonales de ABCD ont même longueur si et seulement si MNPQ est un losange.
Cette figure apparait pour la première fois dans les Éléments de Mathématiques de Pierre Varignon, ouvrage publié à titre posthume en 1731.
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