$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonctions à variations bornées

  Une fonction $f$ est dite à variations bornées sur un segment [a,b] s'il existe une constante $M$ telle que, quelle que soit la subdivision $a=x_1<x_2<\dots<x_N=b$ de $[a,b]$, alors $$\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}-f(x_i)|\leq M.$$ La quantité $$\sup\left\{\sum_{i=1}^{N-1} |f(x_{i+1}-f(x_i)|;\ N\geq 2,\ a=x_1<\dots<x_N=b\right\}.$$ s'appelle la variation totale de la fonction sur $[a,b]$.

  Il est clair qu'une fonction monotone est à variations bornées, car on peut toujours enlever les valeurs absolues lors du calcul de la variation totale, et celle-ci est égale à $|f(b)-f(a)|$. Il est beaucoup plus difficile que les fonctions à variation bornées sont presque les fonctions monotones : en réalité, elles sont les différences de deux fonctions croissantes.
Théorème : Une fonction est à variations bornées sur $[a,b]$ si et seulement si elle est la différence de deux fonctions croissantes sur $[a,b]$.
  En particulier, les fonctions à variations bornées héritent de nombreuses propriétés des fonctions monotones, par exemple que leur nombre de points de discontinuité est au plus dénombrable.

Cette condition a été introduite par Camille Jordan afin d'étendre le théorème de Dirichlet de convergence des séries de Fourier. C'est une condition également utile dans certaines théories de l'intégration.
Consulter aussi...