$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Variation de la constante

La méthode de variation de la constante est une méthode pour déterminer les solutions d'une équation différentielle avec second membre, connaissant les solutions de l'équation homogène (sans second membre).

Premier ordre :

Si $y_0$ est une solution de l'équation homogène, on cherche une solution particulière sous la forme $y(t)=z(t)y_0(t)$.

Exemple : Soit à résoudre :
  1. On résout l'équation homogène , dont la solution générale est donnée par .
  2. On cherche une solution particulière sous la forme , d'où :
    On en déduit que , et donc .


Second ordre :
  On considère une équation :
Si $(y_1,y_2)$ est une base de solutions de l'équation sans second membre, on cherche une solution $y$ sous la forme :
En particulier, l'expression de $y'$ entraîne que :
L'introduction des valeurs de $y$ et $y'$ dans l'équation différentielle donne une deuxième équation en , ce qui donne avec la précédente un système différentiel linéaire d'ordre 2 en , que l'on résout.

Exemple : Soit à résoudre :
Une base de l'équation sans second membre est donnée par :
On cherche donc une solution $y$ vérifiant :
Remarquons que l'on a :
D'où, en introduisant dans l'équation :
Ce système est équivalent à :
soit :
En particulier, est une solution particulière, et les solutions sont de la forme :