$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Variables et vecteurs aléatoires

Soit $(\Omega,\mathcal A,P)$ un espace probabilisé. On dit qu'une fonction $X:\Omega\to\mathbb R$ est une variable aléatoire (réelle) si, pour tout intervalle $I$ de $\mathbb R,$ $$X^{-1}(I)\in\mathcal A.$$ Un vecteur aléatoire est un $m$-uplet $(X_1,\dots,X_m)$ où chaque $X_i$ est une variable aléatoire.

Exemple :

  • Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On tire avec remise deux boules de cette urne, et on note $X$ le nombre de boules blanches obtenues. $X$ est une variable aléatoire définie sur $\{B,N\}^2$ et qui vérifie $$ X((B,B))=2,\ X((B,N))=X((N,B))=1,\ X((N,N))=0.$$
  • On lance un dé cubique, et on note $X$ le nombre de lancers avant d'obtenir un 4. $X$ est une variable aléatoire, qui peut prendre toute valeur de $\mathbb N.$
  • Soit $A$ et $B$ des points de coordonnées respectives $(1,0)$ et $(1,1)$ dans un repère orthonormé. On tire un point au hasard dans $OAB,$ et on note $X$ son abscisse. $X$ est une variable aléatoire à valeurs dans $[0,1].$
  • Une puce se déplace aléatoirement dans un disque de centre 0 et de rayon 1. On note $X$ et $Y$ ses abscisses et ordonnées. Alors $(X,Y)$ est un vecteur aléatoire réel.

On distingue essentiellement 3 types de variables aléatoires, suivant la nature de $X(\Omega)$, l'ensemble des valeurs prises par $X$ :

  1. $X(\Omega)$ est une partie finie de $\mathbb R$. On dit que $X$ est une variable aléatoire discrète finie (c'est le cas de l'exemple 1).
  2. $X(\Omega)$ est un sous-ensemble infini dénombrable de $\mathbb R$. On dit que $X$ est une variable aléatoire discrète infinie (c'est le cas de l'exemple 2).
  3. $X(\Omega)$ est une réunion finie ou dénombrable d'intervalles de $\mathbb R$, et $F,$ la fonction de répartition de $X,$ peut s'écrire sous la forme $$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$$ où $f$ est une fonction positive ou nulle. On dit que $X$ est une variable à densité. C'est le cas de l'exemple 3.
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