$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Variables et vecteurs aléatoires

Définition : Soit un espace probabilisé. On dit qu'une fonction est une variable aléatoire (réelle) si, pour tout intervalle I de R,

Un vecteur aléatoire est un m-uplet (X1,...,Xm) où chaque Xi est une variable aléatoire.

Ex :
  • Une urne contient une boule noire et une boule blanche. On tire avec remise deux boules de cette urne, et on note X le nombre de boules blanches obtenues :
    X est une variable aléatoire définie sur {b,n}2.
  • On lance un dé cubique, et on note X le nombre de lancers avant d'obtenir un 4. X est une variable aléatoire, qui peut prendre toute valeur de N.
  • Soient A et B des points de coordonnées respectives (1,0) et (1,1) dans un repère orthonormé d'origine 0. On tire un point au hasard dans OAB, et on note X son abscisse. X est une variable aléatoire, qui vérifie
  • Une puce se déplace aléatoirement dans un disque de centre 0 et de rayon 1. On note X et Y ses abscisses et ordonnées. Alors (X,Y) est un vecteur aléatoire réel.   Il existe essentiellement 3 types de variables aléatoires :
    1. est une partie finie de R. On dit que X est une variable aléatoire discrète finie (c'est le cas de l'ex 1).
    2. est un sous-ensemble infini dénombrable de R. On dit que X est une variable aléatoire discrète infinie (c'est le cas de l'ex 2).
    3. est une réunion finie ou dénombrable d'intervalles de R, et F, la fonction de répartition de X, peut s'écrire sous la forme :
      où f est une fonction positive. On dit que X est une variable à densité. C'est le cas de l'exemple 3.
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