$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Valuations

Valuation $p$-adique
  Si $n\geq 2$ et $p$ est un nombre premier, on appelle valuation $p$-adique de $n$, et on note $v_p(n)$, le plus grand entier $k\geq 0$ tel que $p^k|n$.

  La valuation $p$-adique de $n$ est l'exposant de $p$ dans la décomposition en produit de facteurs premiers de $n$. Elle est utile pour calculer le pgcd et le ppcm de deux entiers $a$ et $b$ : si $p_1,\dots,p_r$ sont les nombres premiers intervenant dans les décompositions de $a$ et $b$, alors \begin{eqnarray*} a\wedge b&=&p_1^{\min(v_{p_1}(a),v_{p_1}(b))}\cdots p_r^{\min(v_{p_r}(a),v_{p_r}(b))}\\ a\vee b&=&p_1^{\max(v_{p_1}(a),v_{p_1}(b))}\cdots p_r^{\max(v_{p_r}(a),v_{p_r}(b))}. \end{eqnarray*}
Valuation d'un polynôme
  Si $P(X)=a_0+a_1X+\dots+a_n X^n$ est un polynôme non-nul, la valuation de $P$ est le plus petit entier $k$ tel que $a_k\neq 0$. Autrement dit, si $k$ est la valuation de $P$, alors $a_k\neq 0$ et $P$ s'écrit $P(X)=a_k X^k+\dots+a_n X^n$.
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