Valeur principale

Analyse -- Intégration

  Soit $f$ une fonction définie sur $[a,b]$, sauf au point $c$ appartenant à $[a,b]$, dont l'intégrale impropre est divergente. Ceci signifie que l'une des limites
n'existe pas. Il est pourtant parfois possible de donner un sens à en considérant des voisinages symétriques de $c$. Ainsi, si la quantité
admet une limite quand , on appelle cette limite la valeur principale de .

  La notion de valeur principale admet aussi un sens (proche) dans la théorie des distributions. Si $f$ est une fonction définie sur $\mathbb R$, localement intégrable, on sait qu'elle définit une distribution. Considérons maintenant $f(x)=1/x$, $f(0)=0$, qui n'est pas intégrable en 0, donc non localement intégrable. Si maintenant on considère $g$ une fonction de classe $C^\infty$ à support dans le compact $[-R,R]$, alors on a :
Dans le membre de droite, le module de la fonction que l'on intègre est majoré par $\max{|g'(x)|; x \in[-R,R]}$. Ceci est intégrable sur $[-R,R]$ - c'est une constante! - et donc l'intégrale admet une limite quand . On appelle valeur principale de $1/x$, noté $vp(1/x)$, la distribution définie par
La considération d'intégrale en valeurs principales remonte à Cauchy.
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