$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Valeur absolue

D'un nombre réel
  On appelle valeur absolue d'un nombre réel le nombre réel positif, noté |x|, qui est égal à :
  • x, si x est positif ou nul.
  • -x, si x est négatif.
  Ainsi, la courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :
La fonction valeur absolue satisfait l'inégalité triangulaire : si x et y sont des réels, on a en effet : |x+y||x|+|y|, ce qui fait de (R,|.|) un espace normé.

Sur un corps
  Plus généralement, si K est un corps, une valeur absolue sur ce corps est une application de K dans R+ qui satisfait aux conditions :
  1. La valeur absolue est nulle si et seulement si x est nul.
  2. Pour tout couple (x,y) d'éléments de K, la valeur absolue du produit x×y est égale au produit des valeurs absolues.
  3. Pour tout couple (x,y) d'éléments de K, la valeur absolue de la somme x+y est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues (inégalité triangulaire).
  Par exemple, sur le corps C des nombres complexes, le module est une valeur absolue.