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Endomorphisme unitaire

Soit $E$ un espace vectoriel hermitien, et $u$ un endomorphisme de $E$. On dit que u est un endomorphisme unitaire s'il conserve le produit scalaire, c'est-à-dire si pour tous $x,y$ de $E,$ on a : $$\langle u(x),u(y)\rangle=\langle x,y\rangle.$$ Puisque $u$ conserve le produit scalaire, $u$ conserve la norme, et $u$ est donc une isométrie. En outre, un endomorphisme unitaire est toujours inversible, son inverse étant son adjoint $u^*$.

L'ensemble des endomorphismes unitaires forme un sous-groupe de $GL_n(E)$ pour l'opération de composition des applications : on l'appelle groupe unitaire, et on le note $U(E).$ On définit aussi le groupe spécial unitaire $SU(E)$ des endomorphismes unitaires de déterminant $1.$ En identifiant les éléments de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ aux endomorphismes de $\mathbb C^n,$ on définit les sous-groupes $U_n(\mathbb C)$ et $SU_n(\mathbb C)$ de $GL_n(\mathbb C)$ correspondants.

Théorème : Un endomorphisme de $E$ est unitaire si et seulement s'il est diagonalisable dans une base orthonormale et ses valeurs propres sont de module 1.

D'un point de vue topologique, le groupe unitaire possède les propriétés suivantes : les ensembles $U_n(\mathbb C)$ et $SU_n(\mathbb C)$ sont des parties compactes, d’intérieur vide et connexes par arcs de $\mathcal M_n(\mathbb C).$

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