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Théorème d'unicité de Cantor

Théorème : Soit $\sum_{n\in\mathbb Z}c_ne^{inx}$ une série trigonométrique qui converge simplement sur $\mathbb R$ vers la fonction nulle, c'est-à-dire que $$\forall x\in\mathbb R, \lim_{N\to+\infty}\sum_{-N}^N c_ne^{inx}=0.$$ Alors tous les coefficients $c_n$, $n\in\mathbb Z$ sont nuls.

En particulier, deux séries trigonométriques qui ont la même limite simple ont les mêmes coefficients.

Ce théorème a été démontré par Georg Cantor en 1871. Il a ensuite essayé d'affaiblir les hypothèses du théorème en introduisant les ensembles exceptionnels, qui sont tels que si la série trigonométrique converge simplement vers la fonction nulle sauf éventuellement sur un tel ensemble, alors tous ses coefficients sont identiquement nuls. Ce sont ces considérations qui l'amenèrent alors progressivement à devoir écrire précisément la définition d'un nombre réel et à construire la théorie des ensembles. On sait désormais que tout ensemble dénombrable est un ensemble d'unicité (Young, 1909) mais qu'il existe aussi des ensembles de mesure nulle qui ne sont pas des ensembles d'unicité (Menchoff, 1916).
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