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Ultrafiltre

  Un ultrafiltre est un filtre maximal pour l'inclusion. On dispose d'une caractérisation algébrique des ultrafiltres.

Proposition : Soit F un filtre sur un ensemble X. Alors F est un ultrafiltre si et seulement si, pour toute partie A de X, A ou Ac est élément de X.

Les ultrafiltres sont liés à la compacité. Ainsi, on peut démontrer qu'un espace topologique séparé X est compact si et seulement si tout ultrafiltre sur X converge. La version complète du théorème de Tychonov peut alors s'en déduire aisément. Ce qui est moins facile est la preuve de l'existence d'un ultrafiltre. C'est en fait une conséquence de l'axiome du choix.
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