$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Étude du trinôme du second degré

Le but de ce petit article est de présenter comment résoudre l'équation du second degré $ax^2+bx+c=0$, où $x$ est l'inconnue, et $a$, $b$ et $c$ sont pour commencer des nombres réels avec $a$ non nul. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable $u^2-v^2=(u-v)(u+v)$. Pour cela, nous commençons par la :

Mise sous forme canonique

Factorisons par a : $$ax^2+bc+c=a\left(x^2+\frac ba x+\frac ca\right).$$ Nous reconnaissons dans $x^2+\frac ba x$ le début du développement d'un carré, à savoir : $$\left(x+\frac b{2a}\right)^2=x^2+\frac ba x+\frac{b^2}{4a^2}.$$ Nous obtenons donc : $$ax^2+bx+c=a\left(\left(x+\frac b{2a}\right)^2-\left(\frac{b^2-4ac}{4a^2}\right)\right)$$ qui est la forme canonique du polynôme du second degré $ax^2+bx+c$. Nous allons discuter de plusieurs cas suivant la valeur du :

Discriminant

Posons $\Delta=b^2-4ac$ le discriminant de $ax^2+bx+c$.

  • Si $\Delta>0$, on pose $u=x+\frac b{2a}$, et $\delta=\frac{\sqrt\Delta}{2a}$. Alors : $$ ax^2+bx+c=a(u^2-\delta^2)=a(u-\delta)(u+\delta).$$ L'équation $ax^2+bx+c=0$ est donc équivalente à $u=\delta$ ou $u=-\delta$. Elle admet deux racines simples, qui sont : $$x_1=\frac{-b-\sqrt\Delta}{2a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt\Delta}{2a}.$$
  • Si $\Delta=0$, il y a une racine réelle double : $$x_0=\frac{-b}{2a}.$$
  • Si $\Delta<0$, il n'y a pas de racines réelles.
Tableau de signes

Dans le cas où il y a deux racines réelles $x_1$ et $x_2$, nous avons le tableau de signes suivant :

Dans les autres cas, $ax^2+bx+c$ est toujours du signe de $a$, avec éventuellement annulation à la racine double.

Sur le corps des nombres complexes

Sur $\mathbb C$, un trinôme du second degré a toujours des racines. Dans le cas où $\Delta<0$, on a des racines complexes conjuguées : $$x_1=\frac{-b-i\sqrt{-\Delta}}{2a},\ x_2=\frac{-b+i\sqrt{-\Delta}}{2a}.$$ Dans le cas où les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des complexes, la méthode est la même,et on a toujours une racine car tout nombre complexe admet une racine carrée.

Discriminant réduit

Lorsque $b$ est un nombre pair, pour simplifier les calculs, on introduit parfois le discriminant réduit. Pour cela, on pose $b=2b'$. Le discriminant réduit vaut : $$\Delta'=b'^2-ac.$$ Les racines sont alors données, dans le cas où le discriminant est positif, par la formule : $$x_1=\frac{-b'-\sqrt{\Delta'}}{a},\ x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta'}}{a}.$$