$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Étude du trinôme du second degré

  Le but de ce petit article est de présenter comment résoudre l'équation du second degré ax2+bx+c=0, où x est l'inconnue, et a,b,c sont pour commencer des réels, a non nul. L'idée est d'utiliser l'identité remarquable u2-v2. Pour cela, nous commençons par la :

Mise sous forme canonique
  Factorisons par a : ax2+bx+c=a[x2+(b/a)x+c/a]. Nous reconnaissons dans x2+(b/a)x le début du développement d'un carré, à savoir : [x+(b/2a)]2=x2+(b/a)x+(b2/4a2). Nous obtenons donc :
qui est la forme canonique du polynôme du second degré ax2+bx+c. Nous allons discuter de plusieurs cas suivant la valeur du :

Discriminant
  Posons le discriminant de ax2+bx+c.
  • Si , on pose u=x+b/2a, et . Alors :
    L'équation ax2+bx+c=0 est donc équivalente à . Elle admet donc deux racines simples, qui sont :
  • Si , il y a une racine réelle double :
  • Si , il n'y a pas de racines réelles.

Tableau de signes
  Dans le cas où il y a deux racines réelles x1 et x2, nous avons le tableau de signes suivant :
Dans les autres cas, ax2+bx+c est toujours du signe de a, avec éventuellement annulation à la racine double.

Sur le corps des nombres complexes
  Sur C, un trinôme du second degré a toujours des racines. Dans le cas où , on a des racines complexes conjuguées :
Dans le cas où les coefficients a,b et c sont des complexes, la méthode est la même,et on a toujours une racine car tout nombre complexe admet une racine carrée.

Discriminant réduit
  Lorsque b est un nombre pair, on introduit parfois le discriminant réduit. Pour cela, on pose b=2b'. Le discriminant réduit vaut :
Les racines sont alors données par la formule :