$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Topologie initiale, topologie finale

  Les notions de topologie initiale et de topologie finale sont des moyens pour définir une topologie "naturelle" sur un ensemble $X$ de sorte que certaines applications soient continues.
Topologie initiale
  Soit $X$ un ensemble, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologique et $f_i:X\to Y_i$ des applications, $i\in I$. On appelle topologie initiale sur $X$ la topologie la moins fine (celle qui possède le point d'ouverts) de sorte que toutes les $f_i$ soient continues. Autrement dit, la topologie initiale sur $X$ est la topologie engendrée par les ensembles du type $f_i^{-1}(U)$, où $i$ décrit $I$ et $U$ décrit les ouverts de $Y_i$.

Exemples :
  • la topologie produit sur $X\times Y$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $X\times Y$ qui rend continue les deux projections canoniques.
  • la topologie induite par un espace topologique $(E,\tau)$ sur une de ces parties $A$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $A$ qui rend continue l'injection canonique.
  • la topologie faible sur un espace de Banach $X$ est une topologie initiale : c'est la topologie la moins fine sur $X$ qui rend continue toutes les formes linéaires continues.
  La topologie initiale est caractérisée par la propriété suivante :
Théorème : Soit $X$ un ensemble, soit $Z$ un espace topologique, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $f_i:X\to Y_i$ une famille d'applications de $X$ dans $Y_i$.
  • Si $X$ est muni de la topologie initiale, alors toute application $g:Z\to X$ est continue si et seulement si tous les $f_i\circ g:Z\to Y_i$ sont continues.
  • Réciproquement, si une topologie sur $X$ vérifie la propriété précédente, alors elle contient la topologie initiale.
Topologie finale
  Soit $X$ un ensemble, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologique et $f_i:Y_i\to X$ des applications, $i\in I$. On appelle topologie finale sur $X$ la topologie la plus fine (celle qui possède le plus d'ouverts) de sorte que toutes les $f_i$ soient continues. Autrement dit, une partie $U$ de $X$ est un ouvert pour la topologie finale si et seulement si, pour tout $i\in I$, $f_i^{-1}(U)$ est un ouvert de $Y_i$.

Exemple :
  • la topologie quotient est la topologie finale relative à l'application quotient.
  La topologie finale est caractérisée par la propriété suivante :
Théorème : Soit $X$ un ensemble, soit $Z$ un espace topologique, $(Y_i,\tau_i)_{i\in I}$ une famille d'espaces topologiques et $f_i:Y_i\to X$ une famille d'applications.
  • Si $X$ est muni de la topologie finale, alors toute application $g:X\to Z$ est continue si et seulement si tous les $g\circ f_i:Y_i\to Z$ sont continues.
  • Réciproquement, si une topologie sur $X$ vérifie la propriété précédente, alors elle est contenue dans la topologie finale.
Consulter aussi...