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Topologie

  En mathématiques, le mot topologie désigne l'étude des propriétés de continuité des fonctions, de limite des suites,etc... Mais ceci correspond aussi à une définition très précise :

Définition : Soit O une famille de parties d'un ensemble X. On suppose que :
  1. l'ensemble vide et $X$ sont éléments de O.
  2. la réunion d'une famille d'éléments de O est encore un élément de O.
  3. l'intersection d'une famille finie d'éléments de O est encore un élément de O.
On dit alors que O est une topologie pour X. Dans ce cas, l'espace X muni de cette famille s'appelle espace topologique. Les éléments de O sont appelés ouverts de X (pour la topologie O).

La notion d'espace topologique généralise donc celle d'espace métrique ou d'espace vectoriel normé. En effet, on prouve que la famille des ouverts d'un espace vectoriel normé (resp. d'un espace métrique) est une topologie. Bien sûr, dans la phrase précédente, il faut comprendre le mot ouvert au sens classique donné dans les espaces vectoriels normés ou espaces métriques. C'est une généralisation utile, car on prouve que certains espaces topologiques qui interviennent de façon naturelle ne peuvent pas être munis d'une structure d'espace métrique.
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