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Bibm@th

Principe des tiroirs


  Il dit ceci : "Si vous avez n+1 paires de chaussettes, et n tiroirs, il y a au moins un tiroir où il y a deux paires de chaussettes!!!". Elémentaire, non??? Ce principe a été énoncé pour la première fois par Dirichlet au XIXè s. et il est fécond en mathématiques pour résoudre des problèmes d'existence sans construire explicitement un objet.

Exemple d'application :
  Soit K un corps infini. E un K-ev, et E1,...,Ep des sevs de E. Alors E1...Ep est un espace vectoriel ssi il existe un i, tel que pour tout j, EjEi.

Le sens réciproque est évident. Pour le sens direct, on fait un raisonnement par récurrence. Le cas p=1 est facile. On suppose maintenant que le problème est résolu pour (p-1) sevs. Si E1 E2...Ep, alors on peut directement appliquer l'hypothèse de récurrence, et si E2...EpE1, le résultat est trivial. Sinon, soit xE1-E2...Ep, et yE2...Ep-E1. On considère tous les éléments x+ty, pour t parcourant K, qu'on range dans les "tiroirs" E1,...,Ep. Comme le corps est infini, et qu'il n'y a que p "tiroirs", pour un certain i, il existe des éléments distincts t et t' de K avec x+tyEi et x+t'yEi. Mais, en faisant la différence, on voit que (t-t')yEi, et par conséquent, yEi. Mais alors ceci implique aussi que xEi. Cela n'est pas possible au vu des hypothèses faites sur x et y.

C'est un principe qui est aussi souvent mis à profit en théorie des nombres.