Théorème de Thalès

Géométrie -- Triangle


  Voici l'énoncé classique du théorème de Thalès (dans le plan ...) :

Théorème : On considère :

  • deux droites d et d' sécantes en A,
  • deux points B et M de d distincts de A,
  • deux points C et N de d', distincts de A,

Alors si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, on a : .

Voici les 3 configurations possibles :

Ce théorème admet une réciproque :

Théorème (réciproque du théorème de Thalès) : On considère :

  • deux droites d et d' sécantes en A,
  • deux points B et M de d distincts de A,
  • deux points C et N de d', distincts de A,

Si , et si les points A,B,M et les points A,C,N sont alignés dans le même ordre, alors les droites (BC) et (MN) sont parallèles.

La condition d'être alignés dans le même ordre est fondamentale. On doit être obligatoirement dans une des 3 configurations ci-dessus!

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs, tandis que la réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles. On a le corollaire suivant (dit de la droite des milieux) :

Corollaire : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans le livre VI de ses Eléments. Nous nous proposons de la restituer en langage moderne :

L'aire des triangles BEF et CEF sont égales (et valent toutes deux (EF*h)/2.
Or aire(ABF)=aire(AEF)-aire(BEF),

et de même : aire (ACE)=aire(AEF)-aire(CEF).
Donc aire(ABF)=aire(ACE).

Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.

En utilisant la hauteur (FI), on trouve que :

  • aire(ABF)=(AB*FI)/2
  • aire(AEF)=(AE*FI)/2

On a donc : (1)

De même, en utilisant la hauteur (EJ), on trouve :

(2)

Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le théorème de Thalès.

 


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