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Théorème de Thalès


  Voici l'énoncé classique du théorème de Thalès (dans le plan ...) :

Théorème : On considère :
  • deux droites $d$ et $d'$ sécantes en $A$,
  • deux points $B$ et $M$ de $d$ distincts de $A$,
  • deux points $C$ et $N$ de $d'$, distincts de $A$,

Alors si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, on a $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Voici les 3 configurations possibles :

Ce théorème admet une réciproque :

Théorème (réciproque du théorème de Thalès) : On considère :

  • deux droites $d$ et $d'$ sécantes en $A$,
  • deux points $B$ et $M$ de $d$ distincts de $A$,
  • deux points $C$ et $N$ de $d'$, distincts de $A$,

Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, et si les points $A,B,M$ et les points $A,C,N$ sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

La condition d'être alignés dans le même ordre est fondamentale. On doit être obligatoirement dans une des 3 configurations ci-dessus!

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs, tandis que la réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles. On a le corollaire suivant (dit de la droite des milieux) :

Corollaire : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans le livre VI de ses Eléments. Nous nous proposons de la restituer en langage moderne :

L'aire des triangles BEF et CEF sont égales (et valent toutes deux (EF*h)/2.
Or aire(ABF)=aire(AEF)-aire(BEF),

et de même : aire (ACE)=aire(AEF)-aire(CEF).
Donc aire(ABF)=aire(ACE).

Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.

En utilisant la hauteur (FI), on trouve que :

  • aire(ABF)=(AB*FI)/2
  • aire(AEF)=(AE*FI)/2

On a donc : (1)

De même, en utilisant la hauteur (EJ), on trouve :

(2)

Mais (1) et (2) sont égales, et on trouve le théorème de Thalès.