$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Théorème de Thalès

Voici l'énoncé classique du théorème de Thalès :

Théorème : On considère :
  • deux droites $d$ et $d'$ sécantes en $A$,
  • deux points $B$ et $M$ de $d$ distincts de $A$,
  • deux points $C$ et $N$ de $d'$, distincts de $A$,
Alors si les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles, on a $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{MN}{BC}.$

Voici les 3 configurations possibles :

Ce théorème admet une réciproque :

Théorème (réciproque du théorème de Thalès) : On considère :

  • deux droites $d$ et $d'$ sécantes en $A$,
  • deux points $B$ et $M$ de $d$ distincts de $A$,
  • deux points $C$ et $N$ de $d'$, distincts de $A$,
Si $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$, et si les points $A,B,M$ et les points $A,C,N$ sont alignés dans le même ordre, alors les droites $(BC)$ et $(MN)$ sont parallèles.

La condition d'être alignés dans le même ordre est fondamentale. On doit être obligatoirement dans une des 3 configurations ci-dessus!

Le théorème de Thalès permet de calculer des longueurs, tandis que la réciproque du théorème de Thalès permet de démontrer que des droites sont parallèles. On a le corollaire suivant (dit de la droite des milieux) :

Corollaire : Dans un triangle, si une droite passe par le milieu d'un côté et est parallèle à un autre côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

La première démonstration du théorème de Thalès est due à Euclide, dans le livre VI de ses Eléments. Nous nous proposons de la restituer en langage moderne :

Les aires des triangles $BEF$ et $CEF$ sont égales (et valent toutes deux $(EF\times h)/2$.
Or $\textrm{aire}(ABF)=\textrm{aire}(AEF)-\textrm{aire}(BEF),$

et de même : $\textrm{aire}(ACE)=\textrm{aire}(AEF)-\textrm{aire}(CEF).$
Donc $\textrm{aire}(ABF)=\textrm{aire}(ACE).$

Nous allons exploiter ces égalités sur les aires.

En utilisant la hauteur $(FI),$ on trouve que : $$\textrm{aire}(ABF)=(AB\times FI)/2$$ $$\textrm{aire}(AEF)=(AE\times FI)/2$$

On a donc : $$\frac{\textrm{aire}(ABF)}{\textrm{aire}(AEF)}=\frac{AB}{AE}.$$

De même, en utilisant la hauteur $(EJ)$, on trouve : $$\frac{\textrm{aire}(ACE)}{\textrm{aire}(AEF)}=\frac{AC}{AF}.$$

En comparant les deux derniers résultats, on obtient la conclusion du théorème de Thalès.

Curieusement, le nom de théorème de Thalès n'est pas donné au même résultat suivant les pays. En France, ce n'est qu'au XIXè siècle qu'on donne ce nom au résultat dont on vient de parler. Au Royaume-Uni, le théorème de Thalès est le nom donné au théorème qui affirme que si un triangle $ABC$ est inscrit dans un cercle, alors $[AB]$ est un diamètre du cercle si et seulement si $ABC$ est rectangle en $C$.

Il semble que le théorème de Thalès apparaissait déjà sur certaines tablettes babyloniennes, plus de 1000 ans avant Thalès, et comme précisé ci-dessus, la première démonstration semble due à Euclide, 300 ans après Thalès. Si le nom de Thalès est attaché à ce théorème, c'est sans doute en raison de ce que Plutarque a écrit sur lui : "Sans aucun instrument, il a planté son bâton à l'extrémité de l'ombre de la pyramide et, ayant créé deux triangles par l'impact du soleil, il a montré que la pyramide avait au bâton le même rapport que l'ombre de la pyramide à l'ombre du bâton".

Source : Biographie des grands théorèmes, Bertrand Hauchecorne.

Recherche alphabétique
Recherche thématique