$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Temps d'arrêt

  La notion de temps introduite pour la modélisation d'un processus aléatoire est en fait relative à l'horloge de l'observateur, et le phénomène aléatoire étudié n'a aucune raison a priori d'évoluer simplement suivant cette horloge. On est donc amené à introduire des temps aléatoires, appelés temps d'arrêt, qui tiennent compte de l'horloge interne du processus.
Définition : Soit $(\Omega,\mathcal A,\mathbb P)$ un espace probabilisé muni d'une filtration $(\mathcal F_n)$. Une variable aléatoire $T:\Omega\to\mathbb N$ est appelée un temps d'arrêt si, pour tout entier $n$, $$\{T\leq n\}\in\mathcal F_n.$$
Exemple : Soit $(X_n,\mathcal F_n)$ un processus adapté. Soit $A$ un borélien et $T_A$ le temps d'entrée dans $A$, c'est-à-dire que $T_A=\inf\{n\in\mathbb N;\ X_n\in A\}$. Alors $T_A$ est un temps d'arrêt. En effet, $$(T_A=n)=\left(\bigcap_{k=0}^{n-1}(X_k\notin a)\right)\cap (X_n\in A)\in\mathcal F_n.$$

Définition : Soit $T$ un temps d'arrêt. On appelle tribu des événements antérieurs la tribu $\mathcal A_T=\{A\in\mathcal A;\ A\cap(T\leq n)\in \mathcal F_n,\ \forall n\}.$
La tribu des événements antérieurs contient toute l'information qui est disponible avant l'arrêt du processus.
Théorème d'arrêt de Doob : Soit $(X_n)$ une martingale et soient $S\leq T$ deux temps d'arrêt bornés. On note $X_S(\omega)=X_{S(\omega)}(\omega)$ et $X_T(\omega)=X_{T(\omega)}(\omega)$. Alors $$E(X_T|\mathcal A_S)=X_S.$$
Ce théorème exprime qu'un jeu équitable le reste à n'importe quel temps d'arrêt aléatoire.
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