$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Polynômes de Tchebychev

  Les polynômes de Tchebychev sont des familles de polynômes orthogonaux pour un produit scalaire sur $]-1,1[$. Ils interviennent également dans des problèmes d'interpolation polynomiale.
Polynômes de Tchebychev de première espèce
  Les polynômes de Tchebychev de première espèce sont les uniques polynômes $(T_n)_{n\geq 0}$ définis sur $[-1,1]$ par $$T_{n}(x)=\cos(n\arccos x)\textrm{ ou encore } T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta).$$ Autrement dit, $T_n$ est le polynôme en $\cos\theta$ qui apparait lorsqu'on développe $\cos(n\theta)$ en somme de puissances de $\cos\theta$.

  Il n'est pas tout à fait clair que ces formules définissent bien une suite de polynômes. Grâce aux formules de trigonométrie, on peut néanmoins démontrer que $(T_n)$ vérifie la relation de récurrence suivante, $$T_{n+2}(X)=2XT_{n+1}(X)-T_n(X),$$ avec les conditions initiales $T_0(X)=1$ et $T_1(X)=X$. Les premiers polynômes de la suite $(T_n)$ sont alors : $$\begin{array}{rcl} T_0(x)&=&1\\ T_1(x)&=&x\\ T_2(x)&=&2x^2-1\\ T_3(x)&=&4x^3-3x\\ T_4(x)&=&8x^4-8x^2+1. \end{array} $$ Plus généralement, $$T_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-1)^k\frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}(2x)^{n-2k}.$$   Les polynômes de Tchebychev forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\frac{1}{\sqrt{1-t^2}}dt.$$ Plus précisément, on a $$\int_{-1}^1 T_n(x)T_m(x)\frac 1{\sqrt{1-x^2}}dx= \left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }n\neq m\\ \pi&\textrm{ si }n=m=0\\ \frac{\pi}2&\textrm{ si }n=m\neq 0. \end{array} \right. $$   Voici quelques autres propriétés des polynômes de Tchebychev :
  • Le degré de $T_n$ est égal à $n$, et son coefficient dominant est $2^{n-1}$.
  • $T_n$ est paire si $n$ est paire, impaire si $n$ est impaire.
  • pour tous les entiers $n,m$, on a $T_n(T_m(x))=T_{nm}(x)$;
  • $T_n$ est solution de l'équation différentielle $$(1-x^2)T_n''(x)-xT_n'(x)+n^2T_n(x)=0.$$
  • $T_n$ admet $n$ racines simples qui sont $$a_{k,n}=\cos\left(\frac{(2k-1)\pi}{2n}\right),\ k=1,\dots,n.$$
  • Sur $[-1,1]$, $T_n$ admet $n+1$ extrema, en les points $$b_{k,n}=\cos\left(\frac{k\pi}n\right),\ k=0,\dots,n.$$ En particulier, pour tout $x\in [-1,1]$, $$|T_n(x)|\leq 1$$ et en $b_{k,n}$, on a $|T_n(b_{k,n})|=1$.
Polynômes de Tchebychev de seconde espèce
  Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce sont les uniques polynômes $(U_n)_{n\geq 0}$ définis sur $]-1,1[$ par $$U_n(\cos\theta)=\frac{\sin((n+1)\theta)}{\sin \theta}.$$   Comme pour les polynômes de première espèce, l'existence de ces polynômes n'est pas évidente et découle des formules usuelles de trigonométrie. En particulier, on peut démontrer que la suite $(U_n)$ vérifie la même relation de récurrence $$U_n(X)=2XU_{n+1}(X)-U_n(X),$$ avec cette fois $U_1(X)=1$ et $U_1(X)=2X$. On montre aussi qu'on a la relation suivante qui relie $U_n$ à $T_n$ : $$\forall n\geq 0, U_n=\frac{1}{n+1}T_{n+1}'.$$ Les premiers polynômes de la suite $(U_n)$ sont alors : $$\begin{array}{rcl} U_0(x)&=&1\\ U_1(x)&=&2x\\ U_2(x)&=&4x^2-1\\ U_3(x)&=&8x^3-4x\\ U_4(x)&=&16x^4-12x^2+1. \end{array} $$ Plus généralement, $$U_n(x)=\frac n2\sum_{k=0}^{\lfloor \frac n2\rfloor}(-1)^k\binom{n-k}{k}(2x)^{n-2k}.$$   Les polynômes de Tchebychev de seconde espèce forment une famille orthogonale pour le produit scalaire $$\langle f,g\rangle=\int_{-1}^{1}f(t)g(t)\sqrt{1-t^2}dt.$$ Plus précisément, on a $$\int_{-1}^1 U_n(x)U_m(x){\sqrt{1-x^2}}dx= \left\{ \begin{array}{ll} 0&\textrm{ si }n\neq m\\ \frac{\pi}2&\textrm{ si }n=m. \end{array} \right. $$   Voici quelques autres propriétés des polynômes de Tchebychev :
  • Le degré de $U_n$ est égal à $n$, et son coefficient dominant est $2^{n}$.
  • $U_n$ est paire si $n$ est paire, impaire si $n$ est impaire.
  • $U_n$ est solution de l'équation différentielle $$(1-x^2)U_n''(x)-3xU_n'(x)+n(n+2)U_n(x)=0.$$
  • $U_n$ admet $n$ racines simples qui sont $$a'_{k,n}=\cos\left(\frac{k\pi}n\right),\ k=1,\dots,n.$$
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