15/05 - Salon de la culture et des jeux mathématiques
07/05 - Bulles au carré
07/05 - L'équation du millénaire
25/04 - L'équation du millénaire
08/11 - Le problème des nœuds
08/04 - Pourquoi retourner aux sources des mathématiques?
28/03 - Le monde fabuleux des fractales
21/03 - Le monde est mathématique
20/03 - Prix Abel 2013
Analyse -- Fonctions d'une variable réelle
Analyse -- Intégration
Analyse -- Fonctions de plusieurs variables
Avant d'énoncer les différentes formules de Taylor, rappelons qu'elles
sont dites formules de MacLaurin si elles sont écrites en 0.
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un voisinage V=]a-h,a+h[ d'un point a, et si f(n+1)(a) existe, pour tout x tel que |x|<h, on a
Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un segment [a,b], (n+1) fois dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[, alors il existe un réel c de ]a,b[ tel que :
Soit f une fonction de classe Cn sur un segment [a,b], on a :
Les 3 formules de Taylor précédentes sont énoncées de la moins précise à la plus précise. Les hypothèses nécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Elles sont de nature très différentes. La formule de Taylor-Young est une formule locale, qui donne des informations au voisinage d'un point. C'est elle notamment qui donne l'existence de développements limités et qui sert pour faire des études locales de courbes. La formule de Taylor-Lagrange (qui devient une inégalité si la fonction est à valeurs vectorielles) donne des renseignements sur tout un intervalle. Quant à la formule de Taylor reste intégral, c'est la seule à donner une expression précise du reste. Elle est très utile notamment lorsqu'on s'intéresse à la régularité de ce reste. Fonctions de plusieurs variables
Les formules précédentes se généralisent aux fonctions de plusieurs variables. La formule la plus usitée est la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (pour la recherche d'extrema).
Plus généralement, si on note
Formule de Taylor-Young
Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un voisinage V=]a-h,a+h[ d'un point a, et si f(n+1)(a) existe, pour tout x tel que |x|<h, on a
Soit f une fonction définie et n fois dérivable sur un segment [a,b], (n+1) fois dérivable sur l'intervalle ouvert ]a,b[, alors il existe un réel c de ]a,b[ tel que :
Soit f une fonction de classe Cn sur un segment [a,b], on a :
Les 3 formules de Taylor précédentes sont énoncées de la moins précise à la plus précise. Les hypothèses nécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Elles sont de nature très différentes. La formule de Taylor-Young est une formule locale, qui donne des informations au voisinage d'un point. C'est elle notamment qui donne l'existence de développements limités et qui sert pour faire des études locales de courbes. La formule de Taylor-Lagrange (qui devient une inégalité si la fonction est à valeurs vectorielles) donne des renseignements sur tout un intervalle. Quant à la formule de Taylor reste intégral, c'est la seule à donner une expression précise du reste. Elle est très utile notamment lorsqu'on s'intéresse à la régularité de ce reste. Fonctions de plusieurs variables
Les formules précédentes se généralisent aux fonctions de plusieurs variables. La formule la plus usitée est la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (pour la recherche d'extrema).
Théorème (formule de Taylor-Young à l'ordre 2) : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de
Rn à valeurs dans Rp et soit a un point de U. On suppose que f est de classe C2 sur U.
Alors on a:
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Théorème : Soit f une fonction définie sur un ouvert U de Rn à valeurs dans Rp
et soit a un point de U.
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