$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Formules de Taylor

vant d'énoncer les différentes formules de Taylor, rappelons qu'elles sont dites formules de MacLaurin si elles sont écrites en 0. Dans la suite, $I$ désigne un intervalle ouvert de $\mathbb R$.

Formule de Taylor-Young

Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a\in I$. On suppose que $f$ est $n$-fois dérivable dans un voisinage $]a-h,a+h[$ de $a$ et que $f^{(n+1)}(a)$ existe. Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+o(h^n).$$

Formule de Taylor-Lagrange

Soit $f:I\to\mathbb R$ et $a,b\in I$. On suppose que $f$ est $n$ fois dérivable sur un segment $[a,b]$, et $(n+1)$ fois dérivable sur l'intervalle ouvert $]a,b[$. Alors il existe $c\in [a,b]$ tel que $$f(b)-\sum_{k=0}^{n-1}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)=\frac{f^{n}(c)(b-a)^{n}}{n!}.$$

Formule de Taylor avec reste intégral

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors

$$f(b)=f(a)+\frac{(b-a)}{1!}f'(a)+\cdots+\frac{(b-a)^n}{n!}f^{(n)}(t)+\int_0^1 \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$

La formule de Taylor avec reste intégral est une généralisation du théorème fondamental du calcul intégral, et s'obtient par récurrence en effectuant des intégrations par parties.

Commentaires

Les 3 formules de Taylor précédentes sont énoncées de la moins précise à la plus précise. Les hypothèses nécessaires sont aussi de plus en plus fortes. Elles sont de nature très différentes. La formule de Taylor-Young est une formule locale, qui donne des informations au voisinage d'un point. C'est elle notamment qui donne l'existence de développements limités et qui sert pour faire des études locales de courbes. La formule de Taylor-Lagrange (qui devient une inégalité si la fonction est à valeurs vectorielles) donne des renseignements sur tout un intervalle. Quant à la formule de Taylor reste intégral, c'est la seule à donner une expression précise du reste. Elle est très utile notamment lorsqu'on s'intéresse à la régularité de ce reste.

Fonctions de plusieurs variables
  Les formules précédentes se généralisent aux fonctions de plusieurs variables. La formule la plus usitée est la formule de Taylor-Young à l'ordre 2 (pour la recherche d'extrema).

Théorème (formule de Taylor-Young à l'ordre 2) : Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R^p$ et soit $a$ un point de $U$. On suppose que $f$ est de classe $C^2$ sur $U$. Alors on a: $$f(a+h)=f(a)+\sum_{i=1}^n h_i\frac{\partial f}{\partial x_i}(a)+\frac 12\sum_{i,j=1}^n h_ih_j\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\partial x_j}(a)+o(\|h\|^2).$$
Plus généralement, si on note $$D^k f(a)(h)^k=\sum_{i_1,\dots,i_k=1}^n \frac{\partial^k f}{\partial x_{i_1}\cdots \partial x_{i_k}}(a)h_{i_1}\cdots h_{i_k}$$ on a les résultats suivants :
Théorème : Soit $f$ une fonction définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^n$ à valeurs dans $\mathbb R^p$ et soit $a$ un point de $U$.
  • Formule de Taylor-Young : si $f$ est $k$ fois différentiable en $a$, alors $$f(a+h)=f(a)+Df(a)(h)+\cdots+\frac 1{k!}D^k f(a)(h)^k+o(\|h\|^k).$$
  • Formule de Taylor-reste intégral : si $f$ est de classe $C^{k+1}$ sur $U$et si le segment $[a,a+h]$ est contenu dans $U$, on a : \begin{eqnarray*} f(a+h)&=&f(a)+Df(a)(h)+\cdots+\frac 1{k!}D^k f(a)(h)^k\\ &&\quad+\int_0^1 \frac{(1-t)^{k}}{k!}D^{k+1}f(a+th)(h)^{k+1}dt. \end{eqnarray*}
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