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Théorèmes taubériens

On appelle théorème taubérien tout théorème qui compare divers modes de convergence de séries. Donnons un exemple, dû à Tauber lui-même.

Théorème : On se donne une série entière $\sum_n a_n x^n$ de rayon de convergence égal à 1. Si la suite $(na_n)$ admet pour limite 0 et si la somme $f(x)$ de la série entière $\sum_n a_n x^n$ admet pour limite $\ell$ quand $x$ tend vers $1^-$, alors la série $\sum_n a_n$ converge et a pour somme $\ell$.

Hardy et Littlewood furent notamment des spécialistes en théorèmes taubériens! Le théorème taubérien que l'on nommehabituellement théorème taubérien de Hardy et Littlewood est l'énoncé précédente en remplaçant la condition $a_n=o(1/n)$par la condition beaucoup moins forte $a_n=O(1/n)$.

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