$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Conjecture de Syracuse

  Prenons un entier n. S'il est pair, nous le divisons par 2. S'il est impair, on le multiplie par 3 et on ajoute 1. Puis on recommence avec le nombre ainsi obtenu. Prenons un exemple, l'entier 10.
  • 10 est pair. 10/2 : on obtient 5.
  • 5 est impair. 3×5+1 : on obtient 16.
  • 16 est pair. 16/2 : on obtient 8.
  • 8 est pair. 8/2 : on obtient 4.
  • 4 est pair. 4/2 : on obtient 2.
  • 2 est pair. 2/2 : on obtient 1.
Puis à partir de 1, on reproduit une infinité de fois le cycle 4,2,1,4,2,1,... On a essayé tous les entiers jusqu'à 3,2×1016 : on finit toujours par tomber sur 1! La conjecture de Syracuse est le fait que ceci est vrai pour tout entier. Mais si cet énoncé est vraiment très facile à comprendre, aucun mathématicien n'a jamais réussi à le prouver, ni à l'infirmer.

  En utilisant le programme ci-dessous, vous pouvez vérifier que l'on finit par tomber sur 1 sur n'importe quel entier que vous essaierez. Essayez notamment de trouver des entiers pour lesquels on met très longtemps à revenir sur 1 (27 est un bon exemple).

Rentrez votre nombre :

  Le nom conjecture de Syracuse est lié à l'université de Syracuse aux Etats-Unis, où ce problème fut étudié. Dans les pays anglo-saxons, il est plus prosaïquement appelé problème 3x+1.