$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Groupe symétrique

Définition : Si E est un ensemble, on appelle groupe symétrique de E (ou groupe des permutations de E) l'ensemble des bijections de E sur E. On le note S(E).
  S(E) est un groupe, pour la composition des applications. Le plus souvent, on a E={1,2,...,n}, et S(E) est noté Sn. Signalons que dans ce cas, Sn est d'ordre (de cardinal) n! Certaines permutations de E (donc certains éléments de S(E)) ont un rôle particulier :

Définition :On dit qu'une permutation s de Sn est un cycle de longueur k s'il existe k éléments distincts {a1,...,ak} de {1,...,n} tels que :
  • s(a1)=a2.
  • s(a2)=a3.
  • ....
  • s(ak-1)=ak.
  • s(ak)=a1.
  • s(x)=x si x n'est pas un des ai.
On note en général ce cycle $$(a_1\ a_2\ \dots\ a_k).$$ {a1,...,ak} est alors appelé support de s, et la longueur du cycle est k. Un cycle de longueur 2 est une transposition.
  Ainsi, une transposition est une permutation qui échange deux éléments. Les cycles et les transpositions sont générateurs du groupe symétrique. Précisément, on a le théorème :
Théorème :
  • Toute permutation de Sn s'écrit de manière unique comme produit de cycles à supports disjoints.
  • Toute permutation de Sn est produit (non unique) de transpositions.
C'est l'étude des groupes symétriques par Galois, précisément le groupe des permutations des racines d'un polynôme, qui a conduit à la définition abstraite de groupe.
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