$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Symétrie (dans un espace vectoriel)

Définition : Soient $F$ et $G$ deux sous-espaces supplémentaires d'un espace vectoriel $E$. Alors on appelle symétrie par rapport à $F$ parallèlement à $G$ l'application qui à tout $x$ de $E$ qui se décompose uniquement en $x=y+z$ avec $y$ dans $F$ et $z$ dans $G$ associe $s(x)=y-z.$

Exemple : $E=\mathbb R^2$, $F$ et $G$ sont deux droites de $E$.

Une symétrie est un automorphisme involutif, c'est-à-dire que $s\circ s=\textrm{Id}_E.$ Réciproquement, tout endomorphisme de $E$ vérifiant $s\circ s=\textrm{Id}_E$ est une symétrie. C'est la symétrie par rapport à $\ker(s-\textrm{Id}_E)$ parallèment à $\ker(s+\textrm{Id}_E).$

Si $E$ est de dimension finie $n$ et si $F$ est de dimension $n-1,$ on dit que $s$ est une réflexion. Si $\dim(F)=n-2,$ on dit que $s$ est un renversement. On utilise souvent ces définitions lorsque $E$ est euclidien et on impose alors à $s$ d'être une symétrie orthogonale.

Consulter aussi
Recherche alphabétique
Recherche thématique