$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Loi d'inertie de Sylvester

Soit Q une forme quadratique sur E, espace vectoriel réel de dimension finie. Alors, il existe (e1,...,en) une base de E, et des entiers p et q tels que, pour tout vecteur x=x1e1+...+xnen de E, on ait
Q(x)=x12+...+xp2-xp+12-...-xp+q2.
En outre, si dans une autre base (f1,...,fn) de E, on a une décomposition du même type, c'est-à-dire qu'il existe r et s tel que, pour y=y1f1+...+ynfn de E, on ait
Q(y)=y12+...+yr2-yr+12-...-yr+s2,
alors on a nécessairement r=p et s=q. Le couple (p,q) s'appelle signature de Q.

  On peut aussi définir le couple (p,q) de la signature de façon plus intrinsèque. p est la plus grande des dimensions d'un sous-espace de E où Q est définie positive, et q est la plus grande des dimensions d'un sous-espace de E où Q est définie négative.

Cette classification des formes quadratiques a été obtenue au XIXè siècle par James Sylvester, alors qu'il s'intéressait à l'intersection de deux quadriques.
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