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Théorèmes de Sylow

  Si $G$ est un groupe fini, et $H$ un sous-groupe de $G$, le théorème de Lagrange assure que le cardinal de $H$ divise le cardinal de $G$. A l'inverse, on peut se demander si, dans un groupe de cardinal $n$, il existe toujours un sous-groupe d'ordre $d$, où $d$ est un diviseur de $n$. Ce n'est pas le cas en général, mais Cauchy a prouvé que c'est vrai si $d$ est un entier premier $p$. Les théorèmes de Sylow sont des généralisations de ce théorème de Cauchy à des puissances de $p$.

Définition : Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n$. Si $n=p^\alpha s$, où $p$ est premier, et $s$ et $p$ sont premiers entre eux, on appelle $p$-sous-groupe de Sylow (ou simplement $p$-Sylow) de $G$ un sous-groupe de cardinal $p^\alpha$.
Théorème : Soit $G$ un groupe fini de cardinal $n=p^\alpha s$, avec $p$ premier et $s\wedge p=1$. Alors :
  • $G$ contient au moins un $p$-Sylow;
  • tous les $p$-Sylow de $G$ sont conjugués;
  • le nombre de $p$-Sylow est congru à 1 modulo $p$ et divise $s$.
  Remarquons qu'un groupe d'ordre $p^n$ contient un sous-groupe d'ordre $p^r$ pour tout $0\leq r\leq n$. Ainsi, les théorèmes de Sylow constituent bien une extension du théorème de Cauchy.

Les théorèmes de Sylow sont des théorèmes importants pour étudier la structure des groupes finis. Ils permettent notamment de les casser en groupes plus petits. Ils sont démontrés par Ludwig Sylow dans le cas particulier des sous-groupes des groupes de permutation en 1872. C'est Georg Frobenius qui en donne la première preuve dans le cas des groupes abstraits, douze ans plus tard. Cela dit, on sait désormais que tout groupe peut être vu comme un sous-groupe d'un groupe de permutations. La démonstration de Sylow recouvrait donc tous les cas!
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