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Bibm@th

Système surdéterminé

Un système de $M$ équations à $N$ inconnues est dit surdéterminé si $M>N$.

Notons $Ax=b$ ce système, avec $A$ une matrice à $M$ lignes et $N$ colonnes, $x$ un vecteur inconnu à $N$ lignes et $b$ un vecteurs à $M$ lignes. En général, un tel système ne possède pas de solution, et l'on cherche un vecteur $x$ tel que $Ax$ est aussi proche que possible de $b$. Autrement dit, on cherche un vecteur $x$ tel que $$\|Ax-y\|\leq \|Ay-b\|$$ pour tout vecteur $y$ de $\mathbb R^N$. En général, on choisit la norme euclidienne sur $\mathbb R^N$ et on dit que l'on résoud le système $Ax=b$ au sens des moindres carrés.

Il existe une méthode pratique pour trouver cette solution :

Théorème : Supposons que $A$ soit une matrice à $M$ lignes et $N$ colonnes (avec $M>N$) de rang $N$. Alors il existe un et seul vecteur $x$ minimisant $\|Ax-b\|$. De plus, ce vecteur $x$ est donné comme la solution du système ${}^tAAx={}^tAb$.
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