$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Régularisation par convolution

Définition : On appelle suite régularisante sur Rn tout suite () de fonctions de Rn à valeurs dans [0,+oo[ telle que :
  1. Pour tout k,
  2. , où rk tend vers 0.
  3. Chaque est de classe

  L'intérêt des suites régularisantes est de .... régulariser des fonctions grâce au produit de convolution.

Théorème :
  • Si f est uniformément continu, converge uniformément vers f.
  • Si f est dans Lp, converge vers f dans Lp.
En outre, si f est localement intégrable, est toujours une fonction de classe .

La terminologie suite régularisante n'est pas totalement figée. On remplace parfois la condition 2. précédente par
On parle alors également d'unité approchée ou encore d'approximation de l'identité.

La nom d'unité approchée vient du constat suivant : le produit de convolution fait de L1(R) une algèbre. Dans cette algèbre, il n'y a pas d'unité, c'est-à-dire pas de fonction e telle que pour tout f. Les suites régularisent approchent cela, au sens où
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