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Bibm@th

Suite de Sturm

  Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme n'ayant que des racines simples. La suite de Sturm de ce polynôme est une suite de polynômes qui permet de déterminer le nombre de racines de $P$ dans un intervalle donné. Elle est définie de la façon suivante : on pose $P_0=P$ et $P_1=P'$. Pour calculer $P_2$, on écrit alors $$P_0=P_1Q_1-P_2$$ où le degré de $P_2$ est strictement inférieur à celui de $P_1$. En d'autres termes, $P_2$ est l'opposé du reste dans la division euclidienne de $P_0$ par $P_1$. Puis on recommence et on définit $P_{k+1}$ comme l'opposé du reste dans la division euclidienne de $P_{k-1}$ par $P_k$, $$P_{k-1}=P_kQ_k-P_{k+1}.$$ On s'arrête lorsqu'on obtient un polynôme constant $P_n$, ce qui arrive forcément puisque les degrés des polynômes obtenus décroissent à chaque division. La suite de Sturm du polynôme $P$ est alors : $$S(x)=(P_0(x),P_1(x),…,P_n(x)).$$ Ensuite, pour chaque $x$, on note $V(x)$ le nombre de changements de signes dans la suite $S(x)$. Le théorème de Sturm s'énonce à présent ainsi :
Le nombre de racines de $P$ dans l'intervalle $[u,v]$ est égal à la différence $V(u)-V(v)$.

Exemple : Soit $P(x)=x^3+6x^2-16$. Sa suite de Sturm est : $$S(x)=(x^3+6x^2-16, 3x^2+12x,8x+16,12).$$ En particulier, on a $S(-7)=(-65;63;-40;12)$. Il y a 3 changements de signe dans cette suite, donc $V(-7)=3$. Maintenant, on a $S(2)=(16,36,32,12)$. Cette fois, il n'y a pas de changements de signe, donc $V(2)=0$. Puisque $V(-7)-V(2)=3$, le polynôme $x^3+6x^2-16$ admet ses 3 racines dans l'intervalle $[-7,2]$.

Cette définition doit beaucoup à un article de Gilles Godefroy, paru dans un numéro hors-série de Science et Vie Junior, daté de mars 2003, consacré aux Equations du Second Degré.
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