$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Test de Student

  Le test de Student est un test paramétrique qui compare la moyenne observée d'un échantillon statistique à une valeur fixée, ou encore la probabilité observée d'un caractère à une probabilité théorique. Il permet aussi de comparer les moyennes de deux échantillons statistiques (on parle alors de test de conformité). Il tire son nom de la loi où on lit l'écart critique.

Test de comparaison d'une moyenne à une valeur donnée
  • Données : un échantillon $(x_1,\dots,x_n)$ de $n$ valeurs observées d'une variable aléatoire $X$ d'espérance $m$.
  • Hypothèse testée : $H_0="m=m_0"$ avec un risque d'erreur $a$.
  • Déroulement du test :
    1. on calcule la moyenne observée :
    2. on calcule l'écart-type débiaisé :
    3. on calcule l'écart du test
    4. on cherche l'écart critique $t_a$ dans la table de la loi de Student avec $n-1$ degrés de liberté.
    5. si $t\leq t_a$, on accepte l'hypothèse, sinon on la rejette.

Test de comparaison d'une probabilité
  • Données : un échantillon de $n$ observations pour lesquelles le caractère $A$ a été observé $k$ fois.
  • Hypothèse testée : $H_0="P(A)=p_0"$ avec risque d'erreur $a$.
  • Déroulement du test :
    1. on calcule la probabilité observée :
    2. on calcule l'écart du test
    3. on cherche l'écart critique $t_a$ dans la table de la loi normale (si $a=0,05$, $t_a=1,96$, si $a=0,02$, $t_a=2,32$, si $a=0,01$, $t_a=2,58$).
    4. si $t\leq t_a$, on accepte l'hypothèse, si $t\geq t_a$, on la rejette.
    5. on vérifie a posteriori les conditions d'application: $np\geq 10$, $n(1-p)\geq 10$ et $n\geq 30$.

Exemple
  Dans un casino, à une roulette possédant 37 numéros, le zéro est sorti 298 fois sur 10 000 parties. Est-ce compatible avec le fait que la roulette n'est pas truquée avec un risque d'erreur inférieur à 5%?

  On applique le test précédent :
  • $H_0="P(\textrm{zéro})=1/37"$.
  • p=298/10 000, $p_0=1/37$, n=10000.
  • On obtient t=1,75, alors que $t_0,05=1,96$.
On peut donc accepter $H_0$ : rien ne dit que la roulette est truquée!

Le test de Student est dû au statisticien William Gosset qui, en 1908, a publié son travail sous le pseudonyme de Student parce que son contrat avec la brasserie Guinness, où il avait été embauché pour stabiliser le goût de la bière, ne l'autorisait pas à le faire sous son vrai nom! Source : Plot, numéro 43, 2013
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