Intégrale de Stieltjes

Analyse -- Intégration

  L'intégrale de Stieltjes est une construction de l'intégrale qui répond au problème suivant : si $I=[a,b]$ est un segment de $\mathbb R$, quelles sont les formes linéaires continues sur $\mathcal C(I)$? Sa définition repose sur les fonctions à variations bornées, c'est-à-dire sur les fonctions qui sont différence de deux fonctions croissantes. Soit $F$ une telle fonction, et soit $f\in\mathcal C([a,b])$. Pour $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$, on définit $$S_-(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (F(x_i)-F(x_{i-1}))m_i\textrm{ et }S_+(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (F(x_i)-F(x_{i-1}))M_i$$ où $m_i=\inf_{t\in [x_{i-1},x_i]}f(t)$, $M_i=\sup_{t\in [x_i-1,x_i]}f(t)$. On pose alors $$S_-(f)=\sup_\sigma S_-(f,\sigma)\textrm{ et }S_+(f)=\inf_\sigma S_+(f,\sigma).$$ On démontre que pour toute fonction continue $f$, ces deux quantités sont égales. Leur valeur commune s'appelle l'intégrale de Stieltjes de $f$ par rapport à $F$, et est noté $$\int_a^b f(x)dF(x).$$   Bien sûr, lorsque $F=1$, on retrouve l'intégrale classique, à la Cauchy. Si $[a,b]=[0,1]$, $F=0$ sur $[0,1/2]$ et $F=1$ sur $]1/2,1]$, alors $\int_0^1 f(x)dF(x)=f(1/2)$.

  Le théorème de Riesz affirme alors que, pour toute forme linéaire continue $\varphi$ sur $\mathcal C([a,b])$, il existe une fonction à variations bornées $F$ telle que, pour tout $f\in\mathcal C([a,b])$, $$\varphi(f)=\int_a^b f(x)dF(x).$$
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