$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Intégrale de Stieltjes

  L'intégrale de Stieltjes est une construction de l'intégrale qui répond au problème suivant : si $I=[a,b]$ est un segment de $\mathbb R$, quelles sont les formes linéaires continues sur $\mathcal C(I)$? Sa définition repose sur les fonctions à variations bornées, c'est-à-dire sur les fonctions qui sont différence de deux fonctions croissantes. Soit $F$ une telle fonction, et soit $f\in\mathcal C([a,b])$. Pour $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$, on définit $$S_-(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (F(x_i)-F(x_{i-1}))m_i\textrm{ et }S_+(f,\sigma)=\sum_{i=1}^n (F(x_i)-F(x_{i-1}))M_i$$ où $m_i=\inf_{t\in [x_{i-1},x_i]}f(t)$, $M_i=\sup_{t\in [x_i-1,x_i]}f(t)$. On pose alors $$S_-(f)=\sup_\sigma S_-(f,\sigma)\textrm{ et }S_+(f)=\inf_\sigma S_+(f,\sigma).$$ On démontre que pour toute fonction continue $f$, ces deux quantités sont égales. Leur valeur commune s'appelle l'intégrale de Stieltjes de $f$ par rapport à $F$, et est noté $$\int_a^b f(x)dF(x).$$   Bien sûr, lorsque $F=1$, on retrouve l'intégrale classique, à la Cauchy. Si $[a,b]=[0,1]$, $F=0$ sur $[0,1/2]$ et $F=1$ sur $]1/2,1]$, alors $\int_0^1 f(x)dF(x)=f(1/2)$.

  Le théorème de Riesz affirme alors que, pour toute forme linéaire continue $\varphi$ sur $\mathcal C([a,b])$, il existe une fonction à variations bornées $F$ telle que, pour tout $f\in\mathcal C([a,b])$, $$\varphi(f)=\int_a^b f(x)dF(x).$$
Consulter aussi...