$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Solution (asymptotiquement) stable d'une équation différentielle

  On considère une équation différentielle y'=f(t,y) où est une fonction continue, et U est un ouvert de Rn.

  On fixe t0 un élément de R. Pour tout z élément de U, on note la solution maximale de l'équation différentielle répondant à la condition de Cauchy y(t0)=z. On fixe enfin z0 un élément de U.

Définition : On dit que la solution y(t,z0) est stable s'il existe une boule B(z0,r) et une constance C>0 tels que
  1. Pour tout z de B(z0,r), est définie sur [t0,+oo[;
  2. Pour tout z de B(z0,r) et tout t>t0, on a

Elle est dite asymptotiquement stable si elle est stable et si de plus il existe une boule B(z0,r) telle que, pour tout z de B(z0,r) on a
  Le cas le plus simple est celui d'un système autonome y'=f(y), au voisinage d'un point critique que l'on peut toujours supposer être en 0, c'est-à-dire que l'on suppose f(0)=0. La fonction identiquement nulle est alors solution, et on peut étudier sa stabilité. On a le résultat suivant :
Théorème : On considère l'équation différentielle autonome y'=f(y) où f est de classe C1. Alors, si toutes les valeurs propres de la différentielle de f' en 0 sont de partie réelle strictement négative, la solution nulle est asymptotiquement stable.
Dans le cas où on a simplement l'équation y'=Ay, où A est une matrice (constante), on a la réciproque : la solution nulle est asymptotiquement stable si et seulement si toutes les valeurs propres de A sont de partie réelle strictement négative. Si on s'intéresse à la stabilité, alors on peut autoriser A à avoir des valeurs propres de partie réelle nulle. Mais leur multiplicité comme racine du polynôme minimal doit alors être égale à 1.