$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Suite sous-additive, sur-additive, sous-multiplicative

Une suite $(u_n)$ de nombres réels est dite sous-additive si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\leq u_n+u_m.$$ Elle est dite sur-additive si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\geq u_n+u_m.$$

Théorème :
  • Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels sous-additive. Alors la suite $(u_n/n)$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=\inf_{n\geq 1}\frac{u_n}n\in \mathbb R\cup\{-\infty\}.$$
  • Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels sur-additive. Alors la suite $(u_n/n)$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}\frac{u_n}{n}=\sup_{n\geq 1}\frac{u_n}n\in \mathbb R\cup\{+\infty\}.$$

On a des notions similaires en terme de multiplicativité. Précisément, une suite $(u_n)$ de nombres réels est dite sous-multiplicative si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\leq u_n\times u_m.$$ Elle est dite sur-multiplicative si, pour tout couple $(n,m)$ d'entiers strictement positifs, $$u_{n+m}\geq u_n\times u_m.$$

Théorème :
  • Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels positifs sous-multiplicative. Alors la suite $(u_n^{1/n})$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}u_n^{1/n}=\inf_{n\geq 1}u_n^{1/n}\in \mathbb R_+.$$
  • Soit $(u_n)$ une suite de nombres réels positifs sur-multiplicative. Alors la suite $(u_n^{1/n})$ admet une limite et on a $$\lim_{n\to+\infty}u_n^{1/n}=\sup_{n\geq 1}u_n^{1/n}\in \mathbb R_+\cup\{+\infty\}.$$

On passe du résultat additif au résultat multiplicatif et réciproquement simplement en utilisant les fonctions logarithme et exponentielle.