$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Sphère-Boule

En géométrie dans l'espace
  En géométrie dans l'espace, on appelle sphère de centre A et de rayon R (réel strictement positif) l'ensemble des points M de l'espace situés à une même distance R de A. Si l'espace est muni d'un repère orthonormé Ox,Oy,Oz, l'équation de la sphère, de centre le point M de coordonnées (x0,y0,z0) et de rayon R est :

(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=R2

Le volume de la sphère est alors donné par la formule : V=(4**R3)/3, tandis que son aire latérale totale vérifie : Aire totale=4**R2.

En topologie
  Dans un espace métrique (E,d) quelconque, on peut généraliser cette notion de sphère : si xE, et r>0, on appelle sphère de centre x et de rayon r l'ensemble des points y de E dont la distance à x est exactement r :

S(x,r)={yE; d(x,y)=r}

Dans un espace métrique, une sphère peut ne pas être ronde, et même être un carré. Par exemple, si on munit R2 de ses 3 distances usuelles (cf l'article distance), les sphères ont les allures respectives suivantes :

Seule la sphère de la distance euclidienne est ronde!

  On définir aussi une notion de boule ouverte et de boule fermée :

  • la boule ouverte de centre x et de rayon r>0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est inférieure stricte à r : B(x,r)={yE; d(x,y)<r} (c'est la partie en vert sur le dessin!).
  • la boule fermée de centre x et de rayon r>0 est l'ensemble des points de E dont la distance à x est inférieure ou égale à r : c'est donc la réunion de la boule ouverte et de la sphère! (en vert et noir sur le dessin!)
Lorsqu'on munit l'espace E de la topologie induite par la distance d, une boule ouverte est un ouvert, une boule fermée est un fermé, et la sphère est un fermé.
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