$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Sous-norme

Définition : Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $p:E\to\mathbb R_+$. On dit que $p$ est une sous-norme si, pour tous $x,y$ de $E$, on a :
  • $\forall \lambda\geq 0$, $p(\lambda x)=\lambda p(x)$.
  • $p(x+y)\leq p(x)+p(y)$.

La notion de sous-norme est notamment utile pour la forme générale suivante de la version algébrique du théorème de Hahn-Banach :

Théorème (Hahn-Banach): Soit $E$ un espace vectoriel sur $\mathbb R$ et $p:E\to\mathbb R_+$ une sous-norme. Soit $G$ un sous-espace vectoriel de $E,$ et $g:G\to\mathbb R$ une forme linéaire sur $G$ vérifiant $$\forall x\in G,\ g(x)\leq p(x).$$ Alors il existe une forme linéaire $f$ définie sur $E$ telle que $f_{|G}=g$ et telle que $$\forall x\in E,\ f(x)\leq p(x).$$
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