$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Fonction sous-harmonique

Définition : Une fonction f définie sur un ouvert U de R2 et à valeurs dans R est dite sous-harmonique si :
  • elle est continue;
  • elle vérifie la propriété de la sous-moyenne locale : pour tout a de U, il existe un r0>0 tel que, pour tout 0<r<r0, on ait

Les fonctions sous-harmoniques vérifient les propriétés importantes suivantes :
  • le principe du maximum : si U est un ouvert borné, si f est sous-harmonique dans U et continue sur sa fermeture, alors
  • la propriété du majorant harmonique : une fonction f définie sur l'ouvert U est sous-harmonique si et seulement si, pour tout compact K inclus dans U, pour toute fonction h:K->R continue sur K, harmonique dans l'intérieur de K, et telle que sur le bord de K, alors dans K tout entier.
    Ceci justifie la terminologie "sous-harmonique", et prouve également qu'une fonction sous-harmonique f définie sur U vérifie la propriété de la sous-moyenne globale : pour tout a de U et tout r>0 tel que le disque D(a,r) est contenu dans U, alors
  De plus, signalons qu'une fonction f de classe C2 sur U est sous-harmonique dans U si et seulement si

Les fonctions sous-harmoniques sont parfois définies comme étant semi-continues supérieurement, et non continues.
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