$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Fonction sous-harmonique

Une fonction $f$ définie sur un ouvert $U$ de $\mathbb R^2$ et à valeurs dans $\mathbb R$ est dite sous-harmonique si :

  • elle est continue;
  • elle vérifie la propriété de la sous-moyenne locale : pour tout $a$ de $U$, il existe $r_0>0$ tel que, pour tout $r\in ]0,r_0[$, on a $$f(a)\leq \int_0^{2\pi}f\left(a+re^{i\theta}\right)\frac{d\theta}{2\pi}.$$

Les fonctions sous-harmoniques vérifient les propriétés importantes suivantes :

  • le principe du maximum : si $U$ est un ouvert borné, si $f$ est sous-harmonique dans $U$ et continue sur sa fermeture, alors $$\forall z\in U,\ f(z)\leq \sup_{w\in\partial U}f(w).$$
  • la propriété du majorant harmonique : une fonction $f$ définie sur l'ouvert $U$ est sous-harmonique si et seulement si, pour tout compact $K$ inclus dans $U$, pour toute fonction $h:K\to\mathbb R$ continue sur $K$, harmonique dans l'intérieur de $K$ , et telle que $f\leq h$ sur le bord de $K$, alors $f\leq h$ dans $K$ tout entier. Ceci justifie la terminologie "sous-harmonique", et prouve également qu'une fonction sous-harmonique $f$ définie sur $U$ vérifie la propriété de la sous-moyenne globale : pour tout $a$ de $U$ et tout $r>0$ tel que le disque $D(a,r)$ est contenu dans $U$, alors $$f(a)\leq \int_0^{2\pi}f\left(a+re^{i\theta}\right)\frac{d\theta}{2\pi}.$$

De plus, signalons qu'une fonction $f$ de classe $C^2$ dans $U$ est sous-harmonique dans $U$ si et seulement si $\Delta f\geq 0$.

Les fonctions sous-harmoniques sont parfois définies comme étant semi-continues supérieurement, et non continues.
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