$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Sommes de Riemann

  Soit $f$ une fonction continue sur un segment $[a,b]$, soit $\sigma=(a=x_0<x_1<\dots<x_n=b)$ une subdivision de $[a,b]$, et soit $\xi_1,\dots,\xi_n$ des réels tels que, pour chaque $i$, $\xi_i\in[x_{i-1},x_i]$. La somme de Riemann de $f$ associée à $\sigma$ et aux $\xi_i$ est définie par $$S(f,\sigma,\xi)=\sum_{i=1}^n (x_i-x_{i-1})f(\xi_i).$$   Géométriquement, les sommes de Riemann peuvent être vues comme une valeur approchée de l'intégrale de $f$ par la méthode des rectangles. Le théorème suivant explicite qu'elles approchent effectivement l'intégrale de $f$.
Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors, lorsque le pas de la subdivision tend vers 0, $S(f,\sigma,\xi)$ tend vers $\int_a^b f(t)dt.$
Précisément, l'écart entre $\int_a^b f(t)dt$ et $S(f,\sigma,\xi)$ peut être majoré par une quantité ne dépendant que du pas de la subdivision, quantité qui tend vers 0 lorsque le pas tend vers 0.

  Le plus souvent, ce théorème est appliquée lorsque la subdivision est régulière, et lorsque les $\xi_i$ sont égaux à $x_i$ ou $x_{i-1}$. On a donc le corollaire suivant :
Corollaire :Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors, $$\lim_{n\to+\infty}\frac{b-a}n \sum_{k=1}^n f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$
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