$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Espaces de Sobolev

Introduction

Considérons l'équation aux dérivées partielles suivantes, définie sur un ouvert $\Omega$ de $\mathbb R^n$ : $$\left\{ \begin{array}{rcll}-\Delta u(x)+c(x)u(x)&=&f(x),&x\in\Omega\\ u(x)&=&0,&x\in\partial \Omega \end{array}\right.$$ où $c\in L^\infty(\Omega)$, $f\in L^2(\Omega)$ sont deux fonctions données, et $u$ est une fonction inconnue. Résoudre l'équation aux dérivées partielles, c'est trouver une fonction $u\in \mathcal C^2(\overline \Omega)$ solution. Il est souvent difficile dans la théorie des équations aux dérivées partielles de prouver qu'il existe effectivement une solution.

Cela dit, si on a prouvé qu'une solution $u$ existe, sous réserve que l'ouvert $\Omega$ soit suffisamment régulier, on peut par une intégration par parties (formule de Green), prouver que $u$ vérifie, pour toute fonction $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$, $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)dx+\int_{\Omega}c(x)u(x)\phi(x)dx=\int_{\Omega}f(x)\phi(x).$$

L'idée des espaces de Sobolev est d'introduire les espaces de fonction $u$ tels que $u\in L^2(\Omega)$ et $\nabla u\in \big(L^2(\Omega)\big)^d$, qui est un espace de Hilbert, et de chercher non les solutions au problème initial, mais les fonctions $u$ de cet espace qui vérifient, pour toute fonction $\phi\in C^\infty_c(\Omega)$, $$\int_\Omega \nabla u(x)\cdot \nabla v(x)dx+\int_{\Omega}c(x)u(x)\phi(x)dx=\int_{\Omega}f(x)\phi(x).$$ De telles fonctions sont appelées solutions faibles de l'équation aux dérivées partielles. L'intérêt est que cette fois on dispose de toute l'artillerie des espaces de Hilbert (théorèmes de projection sur un espace de Hilbert, théorème de Lax-Milgram...) pour prouver l'existence de solutions faibles. On ne résoud donc pas le problème initial, mais une variante.

Espaces de Sobolev d'ordre entier
Définition : Soit $\Omega$ un ouvert quelconque de $\mathbb R^n$, $p\in [1,+\infty]$ et $m\in\mathbb N$. On définit l'espace de Sobolev $W^{m,p}(\Omega)$ par $$W^{m,p}(\Omega)=\{u\in\mathrm L^p(\Omega)~|~\forall\alpha\text{ tel que }|\alpha|\le m,~D^\alpha u\in\mathrm L^p(\Omega)\}$$ où $\alpha$ est un multi-indice et $D^α u$ est une dérivée partielle de u au sens faible (au sens des distributions).

Rappelons (dans le cas des fonctions d'une variable réelle), qu'une fonction $u\in L^2(]0,1[)$ admet une dérivée aussi sens faible s'il existe $v\in L^2(]0,1[)$ telle que, pour tout fonction $\phi\in \mathcal C^{\infty}_c(]0,1[)$, on a $$\int_0^1 u(x)\phi'(x)dx=-\int_0^1 v(x)\phi(x)dx.$$ Dans ce cas, on note $u'=v$.

On munit $W^{m,p}(\Omega)$ de la norme suivante $$\|u\|_{W^{m,p}}=\begin{cases}\left(\sum\limits_{|\alpha|\le m}\|D^{\alpha}u\|_{\mathrm L^p}^p\right)^{1/p}&\text{si }1\le p<+\infty,\\\max\limits_{|\alpha|\le m}\|D^{\alpha}u\|_{\mathrm L^{\infty}}&\text{si }p=+\infty,\end{cases} $$ qui en fait un espace de Banach. On note souvent $H^m(\Omega)$ l'espace $W^{m,2}(\Omega)$ qui est un espace de Hilbert. Lorsque $\Omega=\mathbb R^m$, ces derniers espaces peuvent être définis à l'aide de la transformée de Fourier grâce à la formule de Plancherel. On prouve en effet que $$H^m\left(\mathbb R^n\right)=\left\lbrace u\in \mathrm L^2\left(\mathbb R^n\right)~\left|~\int_{\mathbb R^n}|\hat{u}(\xi)|^2\left(1+|\xi|^2\right)^m\mathrm d\xi \;<\infty \right.\right\rbrace.$$

On a également besoin, pour les équations aux dérivées partielles ayant une condition au bord, d'introduire les espaces de Sobolev de fonction qui s'annulent au bord de $\Omega$. Bien entendu, les fonctions de $W^{m,p}(\Omega)$ n'ont a priori pas de raison d'être définies partout sur le bord de $\Omega$ et on préfère donc une définition fonctionnelle : $W^{m,p}_0(\Omega)$ est l'adhérence de $\mathcal C^1_c(\Omega)$ dans $W^{m,p}(\Omega)$.

Pour aller plus loin...

On peut aussi définir des espaces de Sobolev avec ordre de dérivation fractionnaire. C'est assez facile dans le cas hilbertien sur $\mathbb R^n$ en utilisant la définition à partir de la transformée de Fourier. C'est plus compliqué pour les espaces $W^{m,p}(\Omega)$ avec $p\neq 2$ ou $\Omega\neq\mathbb R^n$ et cela dépasse le cadre de cet article!

Consulter aussi...