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Loi des sinus

On appelle loi des sinus l'égalité suivante, valable dans tout triangle $ABC$, qui exprime la proportionnalité entre les longueurs des côtés et les sinus des angles opposés : $$\frac{a}{\sin(\widehat A)}=\frac{b}{\sin(\widehat B)}=\frac{c}{\sin(\widehat C)}.$$

On peut même améliorer cette relation en introduisant $R$ le rayon du cercle circonscrit à $ABC$ et $S$ la surface du triangle. On a en effet : $$\frac{a}{\sin(\widehat A)}=\frac{b}{\sin(\widehat B)}=\frac{c}{\sin(\widehat C)}=\frac{abc}{2S}=2R.$$

La loi des sinus, sous ses différentes formes (il existe aussi une loi similaire pour la trigonométrie sphérique) est l'oeuvre des mathématiciens arabes du Xè au XIIIè siècle.
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