$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Droite de Simson

  Soit ABC un triangle, et M un point du cercle circonscrit à ABC. Alors les projetés orthogonaux de M sur les côtés du triangle sont alignés; la droite qui les contient s'appelle droite de Simson du triangle.
  Démontrons ce résultat, et même un peu plus... Prenons M un point quelconque du plan, et notons P,Q et R les projetés orthogonaux de M sur les droites (AB), (BC) et (CA). Puisque les triangles APM et ARM sont rectangles respectivement en P et en R, les points A,M,P et R sont sur le cercle de diamètre [AM]. D'autre part, puisque deux angles inscrits qui intersectent le même arc sont égaux, on a :
(RP,RM)=(AP,AM) (mod pi)
De même, on a :
(RM,RQ)=(CM,CQ) (mod pi)
Par la relation de Chasles,
(RP,RQ)=(RP,RM)+(RM,RQ)
On en déduit :
ce qui est équivalent à dire que M appartient au cercle circonscrit à ABC. L'alignement de P,Q et R caractérise donc le fait que M est sur le cercle circonscrit à ABC.

  Pour terminer, on peut aussi remarquer que la droite de Simson est la médiatrice de [OM] où O est l'orthocentre du triangle. Par ailleurs, le milieu de [OM] appartient au cercle des neuf points du triangle ABC.

Il semble que le nom de droite de Simson fut donné à cette droite par Poncelet. Pourtant, elle n'apparait nulle part dans les travaux de Simson, et il semble qu'elle devrait plutôt être attribuée à Wallace.
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