$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Méthode de Simpson

La méthode de Simpson est une méthode de calcul approché d'intégrale. Elle consiste en l' approximation suivante :

$$\int_a^b f(t)dt\simeq \frac{b-a}{6}\left(f(a)+4f\left(\frac{a+b}2\right)+f(b)\right).$$

Cette formule est exacte pour tous les polynômes de degré inférieur ou égal à 3 : on dit que la méthode de Simpson est d'ordre 3.

En général, pour appliquer cette méthode d'intégration, on découpe l'intervalle $[a,b]$ en $n$ intervalles de longueur $(b-a)/n$, et on applique la formule précédente sur chacun des sous-intervalles. On a alors, en posant $h=\frac{b-a}n$ :

$$\int_a^b f(t)dt\simeq \frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+kh\right)+f\left(a+(k+1/2)h\right)+f(a+(k+1)h)\right).$$

Lorsque $f$ est de classe $C^4$, on peut estimer l'erreur commise. En notant $M_4=\sup_{[a,b]}|f|$, on a

$$\left|\int_a^b f(t)dt\simeq \frac{h}{6}\sum_{k=0}^{n-1}\left(f\left(a+kh\right)+f(a+(k+1/2)h)+f(a+(k+1)h)\right)\right|\leq \frac{(b-a)^5 M_4}{180n^4}.$$

Comme souvent, la méthode de Simpson n'est pas due à Simpson! Si elle apparait dans ses travaux, elle est en réalité due à Newton, comme Simpson lui-même le reconnait. Par un curieux effet de balancier, la méthode de Newton-Raphson pour résoudre une équation $f(x)=0$ est due à Simpson!
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