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Sous-espace propre, caractéristique

Sous-espace propre
  Soit E un K-espace vectoriel, u un endomorphisme de E et un élément de K qui est une valeur propre de u. On appelle sous-espace propre associé à le sous-espace
On définit de même un sous-espace propre d'une matrice.

  L'intérêt des sous-espaces propres est le suivant : l'endomorphisme u s'y comporte d'une manière très simple, puisqu'il y agit comme une homothétie. On peut ensuite regrouper les comportements sur des sous-espaces propres distincts grâce au théorème suivant :

Théorème : Soient des valeurs propres distinctes deux à deux de u. Alors les sous-espaces propres sont en somme directe.

Sous-espace caractéristique (spectral)
  Même lorsque le polynôme caractéristique de u est scindé, le théorème précédent est parfois insuffisant pour obtenir le comportement de u sur tout l'espace : la somme directe des sous-espaces propres peut parfois être un sous-espace vectoriel strict de E. On introduit alors la notion de sous-espace caractéristique :

Définition : Soit u un endomorphisme de E dont le polynôme caractéristique est scindé :
Pour tout i, le sous-espace vectoriel
s'appelle le sous-espace caractéristique de u associé à la valeur propre .
Les sous-espaces caractéristiques vérifient les propriétés suivantes :
  • Pour tout i, ils sont stables par u.
  • Ils réalisent une décomposition en somme directe de E, appelée décomposition spectrale :
    Les projecteurs associés s'appellent projecteurs spectraux.
  • On a dim(Ni)=ni.
  L'étude précise du comportement de u sur chaque Ni est à la base des réductions de Dunford et de Jordan.
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