$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Sous-espaces vectoriels

  Soit E un espace vectoriel. Une partie F de E est un sous-espace vectoriel de E si elle est elle-même un espace vectoriel. Il existe une caractérisation pratique de cela : F est un sous-espace vectoriel de E si :
  1. F n'est pas vide.
  2. Pour tous x et y de F, alors x+y est dans F.
  3. Pour tout x de F, et tout scalaire a, ax est dans F.
Autrement dit, une partie F de E est un sous-espace vectoriel si elle n'est pas vide, et est stable par combinaison linéaire.

Exemples :
  • {(x,y,z) de R3 tels que x+y-3z=0} est un sous-espace vectoriel de R3.
  • F={(x,y,z) de R3 tels que x+y-3z+2=0} n'est pas un sous-espace vectoriel de R3. En effet, (1,1,0) et (2,0,0) sont deux éléments de F, mais leur somme (3,1,0) n'est plus dans F.
  • F={(x,y) de R2 tels que y=x2} n'est pas un sous-espace vectoriel de R2. En effet, (1,1) et (2,4) sont dans F, mais leur somme (3,5) ne l'est pas.
  • l'image, le noyau d'une application linéaire sont des sous-espaces vectoriels.
  • l'intersection de deux sous-espaces vectoriel est un sous-espace vectoriel. En revanche, la réunion de deux sous-espaces vectoriels n'est jamais un sous-espace vectoriel, sauf si il y en a un qui contient l'autre.

Somme directe - supplémentaire
  Soient F et G deux sous-espaces vectoriels de E. On appelle somme de F et G l'ensemble F+G={z de E tels qu'il existe x de F, y de G, avec z=x+y}. La somme est directe quand tout élément z de F+G se décompose de manière unique en z=x+y, où x est dans F, y est dans G. C'est équivalent à FG={0}, et on note la somme directe FG.

Si F est un sev de E, on appelle supplémentaire de F tout sous-espace vectoriel G tel que FG=E. Un supplémentaire n'est en général pas unique, et il ne faut surtout pas confondre cette notion avec le complémentaire de F (le complémentaire d'un sous-espace vectoriel n'est jamais un sous-espace vectoriel).

Hyperplan
  Un sous-espace vectoriel F de E sera dit maximal si, pour tout autre sous-espace vectoriel G, si F est contenu dans G, alors ou bien F=G, ou bien G=E (autrement dit il n'existe pas de sous-espace vectoriel de E strictement plus gros que F, mais strictement plus petit que E). Un tel sous-espace vectoriel maximal est appelé hyperplan de l'espace vectoriel E.

On peut prouver que si F est un hyperplan de E, alors il existe une forme linéaire u sur E telle que F est le noyau de u. Réciproquement, le noyau de toute forme linéaire est un hyperplan!