$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Divergence de la série des inverses des nombres premiers

L' objectif de ce petit article est de prouver que la série des inverses des nombres premiers diverge. On note $p_n$ le $n$-ième nombre premier. Ainsi, $p_1=2$, $p_2=3$, $p_3=5$,... Nous raisonnons par l'absurde et supposons que cette série converge. En particulier, il existe un entier k tel que :

Soit $N$ un entier quelconque. On partage $\{1,...,N\}$ en deux ensembles disjoints, dont la réunion est $\{1,...,N\}$ tout entier :

  • $A$ est l'ensemble des entiers de $\{1,...,N\}$ dont la décomposition en facteurs premiers comporte au moins un des $p_{k+1},\ p_{k+2},\cdots$.
  • $B$ est le complémentaire de $A$ dans $\{1,...,N\}$.

Estimons le cardinal de $A$. Le nombre d'entiers de $\{1,...,N\}$ qui sont divisibles par un premier $p$ est inférieur ou égal à $N/p$. Ainsi : $$\textrm{card}(A)\leq\frac{N}{p_{k+1}}+\frac N{p_{k+2}}+\cdots\leq \frac N2.$$ Donc, le cardinal de $B$ est supérieur ou égal à $N/2$.

Maintenant, si $n$ est dans $B$, $n$ s'écrit $n=m^2 q$, où $q$ est sans facteurs carrés. On a $m\leq \sqrt n\leq\sqrt N$, et donc il y a au plus $\sqrt N$ choix pour $m$. Maintenant, la décomposition en facteurs premiers de $q$ ne comporte que les premiers $p_1,\dots,p_k$, avec des exposants égaux à 0 ou 1. Il y a donc au plus $2^k$ tels facteurs $q$, et on a prouvé que : e$$\frac N2\leq\textrm{card}(B)\leq \sqrt N 2^k.$$ Cette inégalité ne peut pas être vérifiée si $N$ est assez grand.