$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Divergence de la série des inverses des nombres premiers

  L'objectif de ce petit article est de prouver que la série des inverses des nombres premiers diverge. On note pn le n-ième nombre premier, par exemple p1=2, p2=3, p3=5,... . Nous raisonnons par l'absurde et supposons que cette série converge. En particulier, il existe un entier k tel que :
Soit N un entier quelconque. On partage {1,...,N} en deux ensembles disjoints, dont la réunion est {1,...,N} tout entier :
  • A est l'ensemble des entiers de {1,...,N} dont la décomposition en facteurs premiers comporte au moins un des pk+1,pk+2,...
  • B est le complémentaire de A dans {1,...,N}.
Estimons le cardinal de A. Le nombre d'entiers de {1,...,N} qui sont divisibles par un premier p est inférieur ou égal à N/p. Ainsi :
Donc, le cardinal de B est supérieur ou égal à N/2.

  Maintenant, si n est dans B, n s'écrit n=m2 q, où q est sans facteurs carrés. On a , et donc il y a au plus choix pour m. Maintenant, la décomposition en facteurs premiers de q ne comporte que les premiers p1,...,pk, avec des exposants égaux à 0 ou 1. Il y a donc au plus 2k tels facteurs q, et on a prouvé que :
Cette inégalité ne peut pas être vérifiée si N est assez grand.