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Série génératrice

Définition : Soit (an) une suite de nombres complexes. On appelle série génératrice associée à la suite la série formelle

  Les séries génératrices sont un outil puissant pour déterminer explicitement des suites que l'on ne connait que par les relations qu'elles vérifient qui les donnent implicitement. Voici un exemple, le calcul des nombres de Catalan. On note an le nombre de parenthésages différents opérant sur deux facteurs adjacents du produit a1...an :
  • pour n=1, une seule façon;
  • pour n=2, une seule façon;
  • pour n=3, deux façons (ab)c et a(bc).
  • pour n=4, cinq façons : (ab)(cd) - a ( (bc) d) - a ( b (cd) ) - ( ( (ab) c) d) - ( (a (bc) ) d).
La dernière multiplication que l'on effectue réalise le produit des k premiers nombres par les (n-k) derniers. an vérifie donc la relation de récurrence :
où on a posé a0=0.On note S(X) la série génératrice de (an). Alors la relation de récurrence précédente permet d'écrire :
Il vient donc
En effectuant le développement en série formelle de , on trouve la valeur exacte des coefficients (an), à savoir :
On aurait bien sûr pu effectuer ces calculs avec des séries entières plutôt qu'avec des séries formelles, mais il aurait fallu s'assurer de la convergence.
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