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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Suites et séries de fonctions > Séries entières >

Série entière

  Si (an) est une suite de nombres réels ou complexes, la série s'appelle une série entière de coefficients (an). On trouve les complexes z pour lesquels la série converge grâce au lemme suivant :
Lemme d'Abel : Si r>0 est tel que la suite (anrn) est bornée, alors la série converge absolument pour |z|<r.
On prouve alors qu'il existe un nombre R, fini ou infini, tel que :
  • converge (absolument) pour |z|<R.
  • diverge grossièrement (le terme général ne tend pas vers 0) pour |z|>R.
R s'appelle rayon de convergence de la série, et le disque de centre 0 de rayon R s'appelle disque ouvert de convergence. On détermine souvent le rayon de convergence en utilisant la règle de D'Alembert.
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